程守洙《普通物理学考研真题答案复习重点

第1章　力和运动

1.1　复习笔记

一、质点运动的描述

机械运动是指一个物体相对于另一个物体的位置，或者一个物体的某些部分相对于其他部分的位置，随着时间而变化的过程．

1．质点

（1）质点是指具有一定质量且大小和形状可以忽略的理想物体；

（2）质点的简化具有相对性．

2．参考系和坐标系

（1）参考系

①参考系是指在描述物体运动时，被选作参考的物体或物体系；

②参考系的选择具有任意性．

（2）坐标系

①选取

在参考系上选定一点作为坐标系的原点O，取通过原点并标有长度的线作为坐标轴．

②常用坐标系

笛卡尔坐标系、平面极坐标系和球坐标系等．

（3）参考系和坐标系的关系

坐标系用来定量地描述一个物体在各时刻相对于参考系的位置．

3．空间和时间

（1）空间反映物质的广延性，与物体的体积和物体位置的变化相联系；

（2）时间反映物理事件的顺序性和持续性．

4．运动学方程

在选定的参考系中，运动质点的位置P（x，y，z）是t的函数，即

x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t）

5．位矢

（1）位矢是用来确定某时刻质点位置的矢量，用

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表示．

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（2）特点

①矢量性；

②瞬时性；

③相对性．

6．位移

位移表示质点在一段时间内位置改变的矢量，用

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表示．

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7．速度

（1）平均速度：

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（2）瞬时速度（速度）：

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8．加速度

（1）质点的平均加速度

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（2）瞬时加速度

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加速度是矢量：

①a与v成锐角，速率增加；

②a与v成钝角，速率减小；

③a与v成直角，速率不变．

二、圆周运动和一般曲线运动

1．切向加速度和法向加速度

自然坐标系下的加速度

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式中，切向加速度at和法向加速度an分别为：

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2．圆周运动的角量描述

（1）圆周运动的瞬时角速度（角速度）

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式中，△θ为角位移，单位为rad；ω的单位为1/s或rad/s．

（2）圆周运动的瞬时角加速度（角加速度）

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式中，α的单位为1/s2或rad/s2．

（3）角量和线量的关系

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3．抛体运动的矢量描述

（1）速度分量：

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（2）速度矢量：

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（3）加速度：

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（4）位矢：

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（5）轨迹方程：

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三、相对运动 常见力和基本力

1．相对运动

（1）伽利略坐标变换

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（2）速度变换与加速度变换

质点P在K’系的速度/加速度与它在K系的速度/加速度的关系

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质点在两个相对作匀速直线运动的参考系中的加速度是相同的．

2．常见力

（1）重力

重力是指地球表面附近的物体受到地球的吸引作用而使物体受到的力．

（2）弹力

弹力是指形变物体恢复原状时与它接触的物体产生的力．

弹力的三种表现形式：

①两物体间的相互挤压

两物体间相互挤压所产生的弹力又称正压力或支承力．

该力大小取决于相互挤压的程度，方向总是垂直于接触面并指向对方．

②绳线对物体的拉力

该力大小取决于绳线收紧的程度，方向总是沿着绳线并指向绳线收紧的方向．

③弹簧的弹力

弹簧的弹力总是力图使弹簧恢复原状，又称恢复力．

F＝－kx（胡克定律）

式中：k为弹簧的劲度系数或劲度，负号表示弹力和位移方向相反．

（3）摩擦力

摩擦力是指两个相互接触的物体在沿接触面相对运动或有相对运动的趋势时，在接触面间产生的一对阻止相对运动的力．

（4）万有引力

万有引力是存在于任何两个物体之间的吸引力．

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式中：G为引力常量，

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．

3．基本力

（1）电磁力

电磁力是指存在于静止电荷之间的电性力以及存在于运动电荷之间的电性力和磁性力． 

（2）强力

强力是指存在于核子、介子和超子之间的强相互作用．

（3）弱力

弱力是指在亚原子领域中存在的短程相互作用．

四、牛顿运动定律

1．牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止，又称惯性定律．

相关说明：

（1）惯性是物体所具有的保持其原有运动状态不变的特性．

（2）力是引起运动状态改变的原因．

（3）牛顿定律只适用于惯性系．

2．牛顿第二定律

物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度方向与外力方向相同．

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力是物体产生加速度的原因，并非物体有速度的原因．

3．牛顿第三定律

两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等方向相反．

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五、伽利略相对性原理 非惯性系 惯性力

1．伽利略相对性原理

（1）一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描写机械运动的力学规律来说是完全等价的．

（2）在一个惯性系的内部所作的任何力学实验都不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是在作匀速直线运动．

2．经典力学的时空观

不同惯性系K与K’中的运动加速度满足：

a＝a＇

3．非惯性系

（1）非惯性系是指对惯性系作加速运动的参考系；

（2）在非惯性系下，牛顿定律不成立．

3．惯性力

（1）惯性力是在非惯性系中来自参考系本身的加速效应的力．

F惯＝－ma

（2）非惯性系下的牛顿定律

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1.2　课后习题详解

一、复习思考题

§1-1 质点运动的描述

1-1-1 回答下列问题：

（1）一物体具有加速度而其速度为零，是否可能？

（2）一物体具有恒定的速率但仍有变化的速度，是否可能？

（3）一物体具有恒定的速度但仍有变化的速率，是否可能？

（4）一物体具有沿Ox轴正方向的加速度而又有沿Ox轴负方向的速度，是否可能？

（5）一物体的加速度大小恒定而其速度的方向改变，是否可能？

答：速度是表示物体运动的方向和快慢的物理量，为矢量，是位矢r的时间变化率；速率是表示速度的大小，为标量，是路程s对时间的的变化率；加速度是表示速度变化的快慢和方向的物理量，为矢量，是速度v的时间变化率．

（1）可能．如：①竖直上抛物体运动到最高点的时刻，具有加速度（等于重力加速度），物体的速度为零；②弹簧振子在水平面上振动时，在位移达到最大值时，加速度不为零，而速度为零．

（2）可能．速度是矢量，有大小和方向；速率是速度的大小．如，物体作匀速率圆周运动时，速度的大小（即速率）不变，但其方向不断变化着，因而其速度一直变化．

（3）不可能．因为速度是矢量，有大小（即速率）和方向，当速率变化时，速度必将改变，不可能恒定．

（4）可能．如：物体匀减速直线运动时的加速度方向和速度方向相反．

（5）可能．如：①物体作抛体运动时，其加速度为重力加速度，大小和方向恒定保持不变，而其速度（大小和方向）却时刻变化着；②物体作匀速率圆周运动，其向心加速度的大小保持不变，但其速度的方向时刻沿圆周的切线方向，即速度的方向在改变着．

1-1-2 回答下列问题：

（1）位移和路程有何区别？在什么情况下两者的量值相等？在什么情况下并不相等？

（2）平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下两者的量值相等？瞬时速度和平均速度的关系和区别是怎样的？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是怎样的？

答：（1）①位移和路程的区别

a．位移是矢量，是以质点在△t时间内从起点到终点的有向线段来表示；

b．路程是标量，是在△t时间内质点实际路径的长度．在图1-1中，

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是位移，

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是路程．

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图1-1-1

②两者量值相等和不相等时的情况

a．两者相等的情况：在直线运动中，如运动方向不变，则质点的位移的大小与路程相等．曲线运动中，在△t趋近于0的极限情况下，位移与轨迹重合，位移的大小才等于路程.

b．两者不相等的情况：一般的曲线运动中，位移的大小|△r|与路程并不相等，只有在△t很短的情况下，质点的位移和运动轨迹近似地看作重合． 

（2）①平均速度和平均速率

a．平均速度定义为

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，它是矢量．

b．平均速率定义为

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，它是标量．

②两者量值相等时的情况

在一般情况下，在相同的时间内|△r|≠△s，所以平均速度和平均速率并不相等．只有在运动方向不变的直线运动中，平均速度在量值上才和平均速率相等．

③瞬时速度和平均速度的关系与区别

a．二者的关系

瞬时速度是时间△t趋于零时平均速度的极限，即

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．

b．二者的区别

第一，瞬时速度和平均速度都是矢量．一般情况下，二者大小和方向都不相同．平均速度的方向是△t时间内位移△r的方向，而瞬时速度的方向是△t→0时沿运动轨迹的切线方向．

第二，只有在匀速直线运动中，瞬时速度和平均速度的大小和方向才相等．

④瞬时速率和平均速率的关系和区别

a．二者的关系

瞬时速率是指瞬时速度的大小，平均速率的大小等于单位时间内所经过的路程．它们都是标量．

b．二者的区别

一般情况下，它们不相等，只有在匀速直线运动中，瞬时速率才等于平均速率．

1-1-3 回答下列问题：

（1）有人说：“运动物体的加速度越大，物体的速度也越大”，你认为对不对？

（2）有人说：“物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小”，你认为对不对？

（3）有人说：“物体加速度的值很大，而物体速度的值可以不变，是不可能的”，你认为如何？

答：（1）这种说法是错误的．运动物体的加速度很大，只说明物体运动速度在变，且变化地很大，并不是运动的速度很大．如，弹簧振子在位移最大处，其加速度的值最大，而速度却等于零．

（2）这种说法是错误的．物体作直线运动时，若向前运动的加速度减小，表明向前运动的速度的变化率在减小，但速度还是因有加速度继续增大，只是增大得平缓些．即使加速度减到零，物体仍向前作匀速直线运动，而不会减小．

（3）这种说法是错误的．物体速度的大小不变，但速度的方向可改变．如，物体作匀速率圆周运动时，其向心加速度

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，如v的值很大，那么可得到很大的加速度，但是速度大小却保持不变．

1-1-4 设质点的运动学方程x＝x（t），y＝y＝（t），，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出

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然后根据

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及

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而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

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及

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你认为哪一种正确？两者差别何在？

答：（1）在计算速度和加速度的大小时，前一种方法有错误，后面一个方法是正确的．

（2）二者的差别：

①前面一个计算方法错误在于忽视了位移、速度和加速度的矢量性，求出的只是速度v和加速度a的径向分量．

②质点的速度按定义是

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，而不是

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．|dr|是位矢增量dr的大小，而dr是位矢r2和r1大小的差值，即r2－r1的极值，按速度定义应为

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速度的大小为

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同样，加速度的大小应为

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用平面极坐标表示时，设位置矢量r的大小为极径r，方向用极角θ表示．质点运动的速度v和加速度a也都可表示为沿径向的和垂直于径向的两个分量的叠加，即

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和

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其中

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所以，前者求出的只是速度v和加速度a的径向分量．

§1-2 圆周运动和一般曲线运动

1-2-1 试回答下列问题：

（1）匀加速运动是否一定是直线运动？为什么？

（2）在圆周运动中，加速度方向是否一定指向圆心？为什么？

答：（1）不一定．如抛体运动，它的加速度为重力加速度g，大小和方向都不变，然而速度v的方向总是沿着轨迹的切线方向，时刻变化，不是直线运动．

（2）不一定．如在变速率圆周运动中，质点既有向心（法向）加速度，又有切向加速度，合加速度就不指向圆心．

1-2-2 对于物体的曲线运动有下面两种说法：

（1）物体作曲线运动时，必有加速度，加速度的法向分量一定不等于零．

（2）物体作曲线运动时速度方向一定在运动轨迹的切线方向，法向分速度恒等于零，因此其法向加速度也一定等于零．

试判断上述两种说法是否正确，并讨论物体作曲线运动时速度、加速度的大小、方向及其关系．

答：（1）第一种说法是正确的，第二种说法是错误的．

①对于说法（1），因为物体作曲线运动时，它的速度方向一直在变化，因而一定存在法向加速度．

②对于说法（2），法向加速度反映物体运动速度的方向变化．

（2）物体作曲线运动时速度、加速度的大小、方向及其关系

①物体作曲线运动时，其速度大小

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，方向总是沿着轨迹的切线方向．

②物体作曲线运动时，加速度在直角坐标系中可分解为两个分量：

a．法向加速度

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，其方向与速度方向垂直，反映速度方向的变化；

b．切向加速度

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，会改变速度值的大小，其方向或与速度方向相同，为加速运动情形；或与速度方向相反，为减速运动情形．

③合加速度一定不与速度方向垂直，但一定指向轨迹的凹侧．

1-2-3 一个作平面运动的质点，它的运动方程是r＝r（t），v＝v（t），如果

（1）

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，质点作什么运动？

（2）

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，质点作什么运动？

答：（1）质点作圆周运动．

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说明质点运动时，其矢径r的大小保持不变；

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表明质点运动的速度不等于零，即矢径r的方向在变化．

（2）质点作匀速率曲线运动．

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表明质点在运动过程中速度v的大小恒定；

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表明质点运动的加速度不等于零．在速度大小恒定的情况下，只有速度v的方向在变化．

1-2-4 圆周运动中质点的加速度是否一定和速度方向垂直？任意曲线运动的加速度是否一定不与速度方向垂直？

答：（1）不一定垂直．

①因为质点运动的速度的大小和方向都可能变化，既有法向加速度，又有切向加速度，因而合加速度不一定与速度方向垂直．

②仅有匀速圆周运动的加速度只有法向加速度，和速度方向垂直．

（2）不一定．在任意曲线运动中，当质点只有法向加速度时，速度只有方向在变化，且加速度方向与速度方向垂直，并指向质点所在处曲线的曲率中心．

1-2-5 一质点沿轨道ABCDEFG运动，试分析图1-1-2中各点处的运动，把答案填入下表．

表1-1-1

各点情况

A

B

C

D

E

F

G

运动是否可能

速度将增大还是减小

速度方向将变化否

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图1-1-2

答：

表1-1-2

各点情况

A

B

C

D

E

F

G

运动是否可能

可能

可能

可能

可能

不可能

可能

可能

速度将增大还是减小

增大

增大

减小

不变

不变

速度方向将变化否

不变

变化

变化

不变

变化

§1-3 相对运动常见力和基本力

1-3-1 人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落入人的手中？如果石子抛出后，火车以恒定的加速度前进，结果又将如何？

答：（1）火车恒速运动时，此石子落入人手中．以火车为参考系，石子上抛后没有水平方向的速度，因而能落入那人手中．

（2）火车以恒定的加速度运动时，此石子则不会落入手中．此时，以火车为参考系，有水平方向的运动速度，因此石子不能落入人手中．

1-3-2 装有竖直遮风玻璃的汽车，在大雨中以速率v前进，雨滴则以速率v"竖直下降，问雨滴将以什么角度打击遮风玻璃？

答：（1）以地面为参考系，汽车前进的速度为v，雨滴下落的速度为v"，

（2）雨滴相对汽车的速度为

v雨对车＝v雨对地－v车对地

（3）速度为矢量，利用矢量图（参看图1-1-3）可得

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与竖直方向的夹角

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图1-1-3

1-3-3 一斜抛物体的水平初速度是v0，它在轨迹的最高点处的曲率半径是多大？

答：（1）物体在斜抛过程中，在轨迹的最高点处的速度沿水平方向，即

v＝v0，vy＝0

（2）物体在最高点处的速度为v＝v0，方向水平；物体的加速度恒为g，方向竖直向下，与速度垂直，即法向加速度．

（3）由

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可得；

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1-3-4 物体A在外力作用下静止在斜面上，如图1-1-4所示，试分析作用在物体上的静摩擦力的方向．

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图1-1-4

答：采用隔离法分析物体A:

（1）作用在A上的力有四个：外力F、重力G、支持力FN和静摩擦力Ff，如图1-1-4所示．

（2）这些力中除重力作用在重心外，其余三个力作用在物体A与外界的相互接触处．

（3）G的方向竖直向下，FN的方向与斜面相垂直，F的方向平行于斜面向上，这三个可确定．静摩擦力Ff的方向与物体A相对于斜面的运动趋势相反，它和F一样平行于斜面，向上或者向下，须根据G和F的大小比较来确定：

①如果Gsin α＞F，则物体有向下滑动趋势，Ff的方向平行于斜面向上；

②如果F＞Gsin α，则物体有向上滑动趋势，Ff的方向平行于斜面向下．

1-3-5 两个物体相互接触，或有联系时，彼此间是否一定存在弹性力？

答：两物体间不一定存在弹性力．物体间相互接触并发生形变才能产生弹性力．

（1）两个相互接触的物体如果出现相互挤压的情形，即使形变很小，弹力也是存在的．

（2）若手握绳索，而不拉紧，则绳索对人也没有拉力作用，这类弹性力就不存在．又如两物体并列如图1-1-5所示，在彼此接触处也无弹力．

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图1-1-5

§1-4 牛顿运动定律

1-4-1 回答下列问题：

（1）物体的运动方向和合外力方向是否一定相同？

（2）物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？

（3）物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？

（4）物体的运动速度很大，所受合外力是否也很大？

答：（1）不一定相同．根据牛顿运动定律F＝m·a，物体所受的合外力方向与加速度方向相同，不是与速度方向（运动方向）相同．例如，物体作曲线运动时，速度方向是沿轨迹的切线方向，而加速度的方向却总是指向轨迹曲线凹的一侧．所以合外力的方向指向轨迹曲线凹的一侧，与运动速度方向无关．

（2）不一定．力是矢量，若干个力的合力为零，就不产生加速度．

（3）不一定．速度是矢量，物体的运动速率不变，但方向可以改变，即存在加速度，此时物体所受的外力不为零．如，在匀速率圆周运动中，物体运动的速率不变，但物体受到向心力作用．

（4）不一定．物体的运动速度很大，未说明运动快慢是否变化，因此，并未说明加速度的存在，即物体所受的外力也不一定存在．

1-4-2 物体所受摩擦力的方向是否一定和它的运动方向相反？试举例说明．

答：不一定．摩擦力是指相对运动或有相对运动趋势的物体间存在的阻碍相对运动或抵抗相对运动趋势的力．

（1）摩擦力可以和物体的运动方向相反，因此摩擦力可以作为阻力．汽车刹车，就是因为受到地面对车的摩擦阻力的作用．

（2）摩擦力也可以和运动方向相同，摩擦力可以作为动力．如，用传送带将物体输送到斜上方的车厢中，物体随传送带一起向斜上方运动，物体因受重力的作用，有沿传送带下滑的趋势，受到传送带的静摩擦力，其方向沿着传送带向上，所以物体不会下滑．

1-4-3 用绳子系一物体，在竖直平面内作圆周运动，当物体达到最高点时，（1）有人说：“这时物体受到三个力：重力、绳子的拉力以及向心力”；（2）又有人说：“因为这三个力的方向都是向下的，但物体不下落，可见物体还受到一个方向向上的离心力和这些力平衡着”．这两种说法对吗？

答：这两种说法都不对．

（1）在对物体进行受力分析时，必须指定施力对象．

（2）题干中的物体只受到重力和绳子拉力两个力．重力的施力者是地球，拉力的施力者是绳子．

（3）向心力或离心力都找不到它们的施力对象．当物体在圆周的最高点时，重力和拉力的方向一致，二者的合力指向圆心，因此称为向心力，并不是另有什么向心力存在．所谓离心力，是向心力的反作用力，作用在其他物体上．

1-4-4 绳子的一端系着一金属小球，另一端用手握着使其在竖直平面内作匀速圆周运动，问球在哪一点时绳子的张力最小？在哪一点时绳子的张力最大？为什么？

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图1-1-6

答：（1）如图1-1-6所示，对小球进行受力分析；

小球只受两个力，即重力G和绳子拉力FT．根据牛顿运动定律和动力学方程可得：

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（2）根据θ讨论绳子的张力：

①当θ＝0时，即物体在最低点，那么

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（绳子的张力最大）

②当θ＝π时，即物体在最高点，那么

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（绳子的张力最小）

1-4-5 在弹簧测力计的下面挂着一个物体，图1-1-7所示，试判别下列两种情况下，测力计所指出的读数是否相同？如果不同，则在哪种情况下读数较大？

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图1-1-7

（1）物体竖直地静止悬挂；

（2）物体在一水平面内作匀速圆周运动．

答：两种情况的读数不同．

（1）静止悬挂时，测力计的读数等于物体的重力，即F1＝mg．

（2）作匀速圆周运动时，则受力分析可得：

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方程，得

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因此，第二种情况的读数大．

1-4-6 如图1-1-8所示，一个用绳子悬挂着的物体在水平面上作匀速圆周运动，有人在重力的方向上求合力，写出FTcosθ－G＝0，另有人沿绳子拉力FT的方向求合力，写出FT－Gcosθ＝0．显然两者不能同时成立，试指出哪一个式子是错误的，为什么？

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图1-1-8

答：这两个式子都是错误的．

（1）第一个式子：FTcosθ－G＝0仅是物体所受的合力在垂直方向分量的运动方程，而没有考虑法向分力的运动方程，即缺少方程

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，因此无法求得合力．

（2）第二个式子：因为物体的加速度a在水平面内，在绳子拉力FT的方向上，加速度a的分量不等于零．

二、习题

1-1 质点按一定规律沿Ox轴作直线运动，在不同时刻的位置如下：

表1-2-1

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（1）画出位置对时间的曲线；

（2）求质点在1s末到3s末这段时间内的平均速度；

（3）求质点在t＝0时的位置.

解：（1）根据质点在不同时刻的位置，画出的

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曲线如图1-1所示.

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图1-2-1

（2）由平均速度的定义可得质点在1s末到3s末这段时间内的平均速度：

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（3）由（1）可知图形为一条直线，其斜率为常数，因此这个质点作匀速直线运动，其运动学方程是：

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.

将

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代入得：

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.

故质点在t＝0时的位置在2.71 m处.

1-2 一质点沿Ox轴运动，坐标与时间的变化关系为x＝4t－2t3，式中x、t分别以m、s为单位，试计算：（1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时速度；（2）1s末到3s末的位移、平均速度；（3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加速度是否可用

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计算? （4）3s末的瞬时加速度.

解：由题意可知运动方程为x＝4t－2t3，可得瞬时速度为

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.

（1）质点在最初2s内的平均速度求得为：

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质点在2s末的瞬时速度求得为：

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“-”号表示质点向Ox轴负方向运动.

（2）质点在1s末到3s末的位移求得为：

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质点在1s末到3s末的平均速度求得为：

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“-”号表示质点向Ox轴负方向运动.

（3）质点在1s末到3s末的平均加速度为：

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“-”号表示质点度沿向x轴负方向.

（4）质点在3s末的瞬时加速度为：

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“-”号表示质点度沿向x轴负方向.

1-3 一辆汽车沿着笔直的公路行驶，速度和时间的关系如图1-2-2中折线OABCDEF所示. （1）试说明图中OA，AB，BC，CD，DE，EF等线段各表示什么运动? （2）根据图中的曲线与数据，求汽车在整个行驶过程中所走过的路程、位移和平均速度.

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图1-2-2

解：（1）在

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图的OA，AB，BC，CD，DE，EF六过程中，由各段曲线可求得速度的大小和方向，由各段曲线的斜率可求得相应的加速度，并以此来判断汽车的运动状态，如表1-2-2所示．

表1-2-2

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（2）由曲线可得：

路程为：

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位移为：

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平均速度为：

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.

*1-4 在图1-2-3中，直线1与圆弧2分别表示两质点A、B从同一地点出发，沿同一方向作直线运动的v-t图.已知B的初速度v0＝b m／s，它的速率由v0变为0所花时间为t1＝2bs.（1）试求B在任意时刻t的加速度；（2）设在B停止时，A恰好追上B，求A的加速度；（3）在什么时候，A、B的速度相同?

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图1-2-3

解：（1）设圆弧的圆心为C，离原点O的距离为

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，半径为R．由图1-2-4的几何关系

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解得：

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设任一时刻t，质点B的速度为

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，可建立

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关系

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解得：

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则加速度为：

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．

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图1-2-4

（2）解法一：当t＝2b时，B静止，A追上B，A的位移等于B的位移．

B的位移：

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A的位移：

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故A的加速度为：

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．

解法二：AB两质点同时同地出发直到相遇，在相同的时间间隔内所经历的位移是相同的，而位移的几何意义即ν－t曲线下的面积．由圆弧2的半个弓形面积求得 ，可避免积分，同样可求得

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（3）质点A的运动速度为

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，令

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，即

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，可得

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，即

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A、B速度相同．

1-5 路灯距地面的高度为h，一个身高为l的人在路上匀速运动，速度为v0，如图1-2-5所示，求：（1）人影中头顶的移动速度；（2）影子长度增长的速率．

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图1-2-5

解：（1）如图1-2-6所示，假设时刻为t的时候人的位置在

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处，人影的头顶点的位置在

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处．

根据几何关系可得下式：

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解得：

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人影的头顶点运动的速度为：

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（式中

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，为人的运动速度）．

因为

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，所以得出

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，即人影的头顶点移动的速度快于人．

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图1-2-6

（2）人影的长度求得为：

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人影长度的变化率求得为：

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即随着人接近路灯，人影长度将变短．

1-6 一长为5 m的梯子，顶端斜靠在竖直的墙上．设t＝0时顶端离地面4 m，当顶端以2 m／s的速度沿墙面匀速下滑时，求： （1）梯子下端的运动学方程和速度；并画出x-t和v-t图（设梯子下端与上端离墙角的距离分别为x和y）； （2）在t＝1s时下端的速度．

解：（1）根据题意作坐标系

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，将墙角设为坐标原点

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，如图1-2-7所示．

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图1-2-7

设t＝0时，梯子两端的坐标分别是

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，在梯子运动时，其两端满足以下方程：

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  ①

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   ②

将式②代入式①得：

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 ③

解得梯子底端的运动方程为：

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则梯子底端的运动速度为：

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梯子下端运动的

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图、

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图如图1-2-8所示．

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图1-2-8

（2）将t＝1s代入梯子底端的速度方程中，解得

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．

1-7 在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处．当人以v0的速率收绳时，试求船的速率与加速度各有多大．

解：如图1-2-9所示，在直角坐标系xOy中，t时刻船离岸边的距离为

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，船的位置矢量（运动方程）可表示为：

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船的速度为：

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因为

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，所以

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（因绳子的长度随时间而变短，故

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）；因此

船的速度为：

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船的加速度为：

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（

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同方向，表明船是加速靠岸的）

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图1-2-9

1-8 在质点运动中，已知

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求质点的加速度和它的轨迹方程．

解：质点在x轴、y轴加速度分量分别为：

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则质点的加速度矢量为：

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由

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方向速度可求得：

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对上式两边定积分，并代入题目条件得：

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根据

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两式，可消去参数

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得到质点运动轨道方程为：

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．

1-9 按玻尔模型，氢原子处于基态时，它的电子围绕原子核做圆周运动，电子的速率为2.2×106 m／s，离核的距离为0.53×10－10m，求电子绕核运动的频率和向心加速度．

解：由题意可知电子绕原子核作匀速圆周运动，故

电子绕核运动的频率为：

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其向心加速度为：

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．

1-10 一张致密光盘（CD）音轨区域的内半径R1＝2.2 cm，外半径R2＝5.6 cm，径向音轨密度N＝650条／mm．在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v＝1.3 m／s的恒定线速度运动的．问：（1）这张光盘的全部放音时间是多少?（2）激光束到达离盘心r＝5.0 cm处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少?

解：（1）由题意可知，全部放音时间求得为：

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．

（2）由于激光束的径向音轨很大，激光束的径向位移很小，因此可近似认为激光束绕光盘作圆周运动，则激光束到达离盘心r＝5.0 cm处时：

光盘转动的角速度为：

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角加速度为：

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又由题意可知

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，故光盘转动的角加速度为：

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．

*1-11 如图1-2-10所示，一质点沿光滑的抛物线轨道，从起始位置（2，2）无初速地滑下．问质点将在何处离开抛物线?抛物线方程为y2＝2x，式中x、y以m为单位．

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图1-2-10

解：对质点受力分析，如图1-2-11：

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图1-2-11

对y2＝2x两边微分得：

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则有：

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设R为抛物线在质点脱离处的曲率半径，则可求得

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又

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，

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，

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故当

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时，有

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解得：

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．

1-12 一辆卡车为了超车，以90 km／h的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现前方80 m处一辆汽车正迎面驶来．假定该汽车以65 km／h的速度行使，同时也发现了卡车超车．设两司机的反应时间都是0.70s（即司机发现险情到实际制动所经过的时间），他们制动后的加速度大小都是7.5 m／s2，试问两车是否会相撞?如果会相撞，相撞时卡车的速度多大?

解：（1）在最初的

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内，两车都是处于匀速率直线运动的运动状态．

设两车最初相距L＝80 m，卡车的初速率为

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，汽车的初速率为

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，在这0.70s时间内二者行驶的路程为：

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两车制动后的加速度均为

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，则卡车由运动到速率降为零所经过的路程为：

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汽车由运动到速率降为零时所经过的路程为：

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从发现险情到两车都安全停下，他们共同行驶的路程为：

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因此，两车会相撞．

（2）设从两车开始制动到相撞的时间间隔为

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，有：

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代入相应数据，可得方程：

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解得：

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因此两车相撞时卡车的速率为：

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．

*1-13 如图1-2-12所示，杆AB以匀角速度ω绕A点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动．设起始时刻杆在竖直位置，OA＝h．（1）列出质点M沿水平杆OC的运动方程；（2）求质点M沿杆OC滑动的速度和加速度的大小．

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图1-2-12

解：已知

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，则在t时刻，AB作匀角速圆周运动的角位置：

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．

（1）由图中的几何关系可求得，运动学方程为：

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（2）M沿杆滑动的速度大小为：

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则加速度大小可求得：

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．

1-14 滑雪运动员离开水平滑雪道飞入空中时的速率v＝110 km／h，着陆的斜坡与水平面成θ＝45°角，如图1-2-13所示．（1）计算滑雪运动员着陆时沿斜坡的位移L（忽略起飞点到斜面的距离）．（2）在实际的跳跃中，运动员所达到的距离L＝165 m，此结果为何与计算结果不符?

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图1-2-13

解：（1）依题建立坐标系，如图1-2-14所示，

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设运动员着陆时的坐标为（x，y），时间为

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，则其运动学方程有：

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解得：

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．

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图1-2-14

（2）在实际的跳跃过程中，运动员将受到各种因素的影响如空气阻力、风力、风向等，因此，即使以同一起跳状态跳跃，结果总是比理想情况下的计算结果小．

1-15 测量上抛物体两次经过两个给定点的时间，可以确定该处的重力加速度．若物体两次经过水平线a的时间间隔为△ta，而两次经过水平线b的时间间隔为△tb，水平线a和b之间的高度差为h，假定在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该处重力加速度的大小．

解：设物体自最高点处自由下落至抛出处

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点所需要的时间间隔为

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，则

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，则

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．

同样地，物体自最高点处自由下落至抛出处

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所需要的时间间隔为

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，

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，则

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．

依题意有：

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图1-2-15

1-16 在篮球运动员做立定投篮时，如以出手时球的中心为坐标原点，建立坐标系Oxy如图1-2-16示．设篮圈中心坐标为（x，y），出手高度为H1，球的出手速度为v0，试证球的出手角度α应满足下式才能投入：

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图1-2-16

证明：在图1-2-16的坐标系中，篮球的轨迹方程为：

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即

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解得：

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．

若要求将球从篮筐上方直接投中到篮筐中心，则只有“＋”的解是符合要求的．

1-17 如图1-2-17，一直立的雨伞，其边缘的半径为R，离地面的高度为h．当伞绕伞柄以角速度ω匀速旋转时，试证沿边缘飞出的水滴将落在地面上半径为

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的圆周上．请构思一种旋转式洒水器的方案．

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图1-2-17

解：（1）证明：在如图1-2-17所示的坐标系中，水滴自飞出点到落地点的水平距离为： 

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①

垂直方向作自由落体运动，其运动方程为：

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   ②

角量和线量关系式为：

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  ③

联立式①②③可得：

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由图示几何关系得，伞柄中心至水滴落地点的水平距离：

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．

（2）构思方案：可根据雨伞的结构来模拟旋转洒水器的结构，略．

1-18 在图1-2-18所示乒乓桌的一边，乒乓球作斜抛运动．已知桌高h＝1.0 m，宽n＝2.0 m．欲使乒乓球能从桌面的另一边切过，并落在离该边水平距离b＝0.50 m处，求乒乓球的初速度v0和抛射角θ各为多少．

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图1-2-18

解：设坐标

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，

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轴正方向设为沿桌面向右，y轴垂直于桌面向上，坐标原点O设为球的发射处．

那么，乒乓球的轨迹方程为：

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   ①

将球的轨迹与桌边相切点的坐标值y＝O，x＝2.0 m 代入①式，可求得：

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  ②

将球的落地点坐标值y＝－1.0 m，x＝α＋b＝2.0 m＋0.50 m ＝2.50 m，代入①式，可求得：

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 ③

联立式②③解得：

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．

1-19 跳伞运动员从1 200 m高空跳下，起初不打开降落伞作加速运动．由于空气阻力的作用，会加速到一“终极速度”200 km／h而开始匀速下降，下降到离地面50 m处时打开降落伞，很快速率会变为18 km／h而开始匀速下降着地．若起初加速运动阶段的平均加速度按g／2计，此跳伞运动员在空中一共经历了多长时间?

解：依题意建立坐标图，如图1-2-19所示，其中

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，

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．设在下跳的初始阶段所经历的时间为

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，有：

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   ①

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   ②

在以

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作匀速直线运动阶段所经历的时间为

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，有：

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  ③

在打开降落伞后，以

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作匀速直线运动，下落至地面的阶段，经历的时间为t3，有：

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 ④

解得：

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因此，跳伞运动员在空中总共经历的时间为：

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图1-2-19

1-20 一列车以5 m／s的速度沿Ox轴正方向行驶，某旅客在车厢中观察一个站在站台上的小孩竖直向上抛出的一个球．相对于站台上的坐标系来说，球的运动学方程为x＝0，y＝

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（v0、g是常量）．（1）如果旅客用随车一起运动的坐标系

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来描写小球的运动，已知

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轴与Ox轴同方向，

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轴与Oy轴相平行，方向向上，且在t＝0时，O＇与O相重合，则x＇和y＇的表达式将是怎样的呢?（2）在

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坐标系中，小球的运动轨迹又是怎样的?（3）从车上的旅客与站在车站上的观察者看来，小球的加速度各为多少?方向是怎样的?

解：（1）依题意设站台坐标系为Oxy，小孩位于坐标原点，车厢上坐标系为

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，车厢以

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的速度沿

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轴正方向运动．

由伽利略变换，t时刻车厢坐标系对小球运动的描述为：

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  ①

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  ②

（2）联立式①②消去t，得：

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即在车厢坐标系中，小球运动的轨迹是抛物线．

（3）在站台坐标系中：

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在车厢坐标系中：

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由此可得，

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，即在这两参考系中加速度相同．

1-21 设河面宽l＝1 km，河水由北向南流动，流速v＝2 m／s，有一船相对于河水以v＇＝1.5 m／s的速率从西岸驶向东岸．（1）如果船头与正北方向成α＝15°角，船到达对岸要花多少时间?到达对岸时，船在下游何处?（2）如果船到达对岸的时间为最短，船头与河岸应成多大角度?最短时间等于多少?到达对岸时，船在下游何处?（3）如果船相对于岸走过的路程为最短，船头与岸应成多大角度?到对岸时，船又在下游何处?要花多少时间?

解：以船为研究对象，设岸为K系，水流为

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系，设K系坐标Oxy，如图1-2-20所示．

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图1-2-20

（1）由速度变换定理可得：

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那么速度的分量可求得：

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，

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  ①

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 ②

解得：

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（2）当

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一定时，欲使船渡河时间最短，由式①可知，

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时，t最小，即：

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（3）设

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为船头与岸之间的夹角，由式①②可得：

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 ③

令

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得：

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将其代入式③得：

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则所需时间

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．

1-22 设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回A处，飞机相对于空气的速率为v＇，而空气相对于地面的速率为vr，A、B之间的距离为l，飞机相对空气的速率v＇保持不变，试计算来回飞行时间：

（1）假定空气是静止的（即vr＝0），试证来回飞行时间为

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；

（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为

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；

（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为

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．

证明：设地面为K系，空气为

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系，研究对象为飞机．

由速度变换定理得：

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，即

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  ①

（1）当

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时，由式①得：

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单程时间：

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往返时间：

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．

（2）当

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向东时，由式①得飞机

由A处到B处时的速率：

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由A处到B处的时间：

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由B处到A处速率：

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由B处到A处时间：

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则往返时间：

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．

（3）当

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向北时，如图1-2-21所示，由速度的矢量关系得：

A处到B处速率

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 A处到B处时间

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由B处到A处时间

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 由B处到A处时间

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图1-2-21

1-23 一条河在某段直线岸边同一侧有A、B两个码头，相距1 km．甲、乙两人需要从码头A到码头B，再立即由B返回．甲划船前去，船相对河水的速度为4 km／h；而乙沿岸步行，步行速度也为4 km／h．如河水流速为2 km／h，方向从A到B，求：（1）在甲、乙两人都从码头B返回码头A的过程中，乙相对甲的速度是多少?（2）谁先回到码头A?先到达几分钟?

解：设河水相对河岸的流速为

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水岸，甲相对河水的速度为

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甲水，则由矢量运算关系可求得甲相对岸的速度为：

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甲＝

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甲水＋

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水岸

甲自码头A向码头B运动的速率为：

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甲1＝

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甲水＋

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水岸＝4＋2＝6 km/h

甲自码头B返回码头A的速率为：

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甲2＝

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甲水－

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水岸＝4－2＝2 km/h

乙相对岸的速率：

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乙＝4 km/h

（1）在甲、乙两人都从码头B返回码头A的过程中，乙相对甲的速率可求得为：

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（2）两人返回码头A时，甲所用时间为：

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乙所用时间为：

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因此，乙比甲早10分钟回到A．

1-24 如图1-2-22所示，一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，在绳的一端挂一质量为m1的物体，在另一侧有一质量为m2的环，求当环相对于绳子以恒定的加速度a2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各是多少?环与绳间的摩擦力为多大?

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