尼科尔森 微观经济理论基本原理考研真题答案网课重点

第一部分　考研真题精选

一、计算题

1某企业的生产需要使用两种要素，其生产技术为f（x1，x2）＝（min{x1，2x2}α），其中x1和x2为两种要素的使用量。企业可以同时调整两种要素的投入量。假定产品的市场价格外生给定为p，且w1和w2表示外生给定的两种要素的价格。请回答：

（1）该厂商的要素需求函数和利润函数。

（2）为使得本题的解有意义，你需要对参数α施加何种限制？（中国人民大学2019研）

解：（1）由该厂商的生产函数f（x1，x2）＝（min{x1，2x2}α）可知其要素使用原则为x1＝2x2，则其产量Q＝f（x1，x2）＝x1α＝（2x2）α，其利润函数为：

π＝pQ－w1x1－w2x2＝px1α－w1x1－w2x1/2

其一阶条件为：dπ/dx1＝αpx1α－1－w1－w2/2＝0；

解得：

故该厂商的要素需求函数为：

利润函数为：

（2）为使得本题的解有意义，参数α需满足以下条件：

①要素使用量x1≥0，要素使用量x2≥0，则α＞0。

②要素需求是自身价格的减函数，即：

则α＜1。

③利润函数是产品价格的增函数，即：∂π/∂p＞0，易得当α＜1时，∂π/∂p＞0恒成立。

综上所示，需要对参数α施加的限制为0＜α＜1。

2在一个纯交换的经济中有两个人，消费者A和消费者B，市场上有两种商品，即面包x1和牛奶x2。两个人的初始禀赋为WA＝（2，5），WB＝（10，15），他们的效用函数分别为uA（x1，x2）＝x10.6x20.4，uB（x1，x2）＝x1＋lnx2。假设消费者对两种商品的消费都严格大于零。

（1）求解消费者的契约曲线。

（2）求解一般均衡时的价格与资源分配状况（提示：可把一种商品的价格标准化为1）。

（3）假设P1＝P2＝1，求出两人对两种商品的需求和两种商品的过剩需求，此时市场出清吗？哪种商品的相对价格偏贵了？（上海财经大学2018研）

解：为简便符号，设面包为x，牛奶为y，则消费者A和消费者B的效用函数分别为：

uA（x，y）＝xA0.6yA0.4

uB（x，y）＝xB＋lnyB

（1）由题意知，消费者A和消费者B面临预算约束：xA＋xB＝2＋10；yA＋yB＝5＋15。

消费者的契约曲线，又称交换的契约曲线，指的是埃奇沃思盒中，不同消费者的无差异曲线切点的轨迹。在本题中，消费者的契约曲线表示两种产品在两个消费者之间的所有最优分配（即帕累托最优状态）的集合，需满足的条件为：MRSxyA＝MRSxyB，即MUxA/MUyA＝MUxB/MUyB，即0.6xA－0.4yA0.4/（0.4xA0.6yA－0.6）＝1/（1/yB），解得：yB＝3yA/（2xA）。

则消费者契约曲线为：xA＝3yA/[2（20－yA）]（0≤xA≤12，0≤yA≤20）。

（2）假设面包价格为1，即px＝1，牛奶价格为p，即py＝p。

消费者A的效用最大化条件为：MUxA/MUyA＝px/py，即3yA/（2xA）＝1/p①

消费者A的预算约束为：pxxA＋pyyA＝2px＋5py，即xA＋pyA＝2＋5p②

联立①②可得消费者A的消费选择：xA＝3（2＋5p）/5，yA＝2（2＋5p）/（5p）。

消费者B的效用最大化条件为：MUxB/MUyB＝px/py，即yB＝1/p③

消费者B的预算约束为：pxxB＋pyyB＝10px＋15py，即xB＋pyB＝10＋15p④

联立③④可得消费者B的消费选择：xB＝9＋15p，yB＝1/p。

联立yA＝2（2＋5p）/（5p），yB＝1/p和yA＋yB＝5＋15，解得p＝0.1。

则px/py＝10，xA＝1.5，yA＝10，xB＝10.5，yB＝10。

即一般均衡时，面包价格是牛奶的10倍，消费者A消费1.5单位面包，10单位牛奶，消费者B消费10.5单位面包，10单位牛奶。

（3）由题意知，面包和牛奶价格均为1，即p＝1。

则由（2）可知，消费者A的消费选择：xA＝3（2＋5p）/5＝4.2，yA＝2（2＋5p）/（5p）＝2.8；

消费者B的消费选择：xB＝9＋15p＝24，yB＝1/p＝1。

又因为消费者A和消费者B面临预算约束：xA＋xB＝2＋10，yA＋yB＝5＋15，所以两人对面包的过剩需求为4.2＋24－（2＋10）＝16.2，对牛奶的过剩需求为2.8＋1－（5＋15）＝－16.2，此时市场不出清，牛奶的相对价格偏贵了。

3考虑某机场和其附近房地产建造商的问题，机场附近的航班会对居住造成一定程度的不利影响，房地产建造商的利润函数为πE＝42y－y2－xy，飞机场的利润函数为πA＝36x－x2，x为机场每天起飞的飞机数，y为房地产商建造的房屋量。

（1）求各自利润最大化时的x，y；

（2）现在房地产建造商购买飞机场，求此时利润最大化时的x，y；

（3）建造商和飞机场各自经营，但飞机场给房地产建造商xy补贴，求达到社会最优量时的补贴xy。（上海财经大学2013研）

解：（1）单独经营时，飞机场利润最大化的一阶条件为：dπA/dx＝36－2x＝0，解得：x＝18。

此时房地产制造商的利润函数为：

πE＝42y－y2－xy＝42y－y2－18y＝24y－y2

其利润最大化的一阶条件为dπE/dy＝24－2y＝0，解得y＝12。

（2）若房地产建造商购买飞机场，此时总利润函数为：

π＝πA＋πE＝36x－x2＋42y－y2－xy

利润最大化的一阶条件为：

∂π/∂x＝36－2x－y＝0

∂π/∂y＝42－2y－x＝0

解得：x＝10，y＝16。

（3）若飞机场给房地产补贴xy，此时房地产制造商的利润函数为：πE＝42y－y2，利润最大化的一阶条件为：dπE/dy＝42－2y＝0，解得y＝21。

此时飞机场的利润函数变为：

πA＝36x－x2－xy＝36x－x2－21x＝15x－x2

飞机场利润最大化的一阶条件为dπA/dx＝15－2x＝0，解得x＝7.5。

故达到社会最优量时的补贴为：xy＝7.5×21＝157.5。

4假定两个人，初始财富是wi，两人同时决定向公共项目贡献ci，剩下的wi－ci用于私人消费，福利函数为ui＝vi（c1＋c2）＋wi－ci，i＝1，2。

（1）社会福利函数为u＝u1＋u2，v1（c1＋c2）＝3（c1＋c2）/4，v2（c1＋c2）＝3（c1＋c2）/2，求社会最优资源配置以及公共贡献总量。

（2）如果两人同时决定贡献量，找出纯策略纳什均衡，计算均衡下公共项目总量，并判断是否最好以及为什么会产生这种结果。（上海财经大学2011研）

解：（1）社会福利函数为：

u＝u1＋u2＝3（c1＋c2）/4＋w1－c1＋3（c1＋c2）/2＋w2－c2＝5（c1＋c2）/4＋w1＋w2

很显然，社会福利函数是ci的增函数，因此社会福利函数最大化的条件就是c1＝w1和c2＝w2，公共贡献总量为w1＋w2。

（2）如果两人同时决定贡献量，对于第一个人来说，因为其福利函数为u1＝3（c1＋c2）/4＋w1－c1＝－c1/4＋3c2/4＋w1，所以他的最佳选择就是自己不作贡献，而不管对方贡献多少。但是，对于第二个人来说，因为其福利函数为u2＝3（c1＋c2）/2＋w2－c2＝3c1/2＋c2/2＋w2，所以他的最佳选择就是把财富全部贡献出来，而不管对方贡献多少，因此纯策略纳什均衡为c1＝0和c2＝w2，公共贡献总量为w2。

当然这对于公共项目来说不是最好结果，最好结果就是（1）的结果，但是由于非合作博弈，个人理性占据上风以及个人忽视了公共项目的有益的外部性，所以结果只能是这一纯策略纳什均衡。

5有相邻的一个果园A和一个养蜂场H，单位水果价格为2，单位蜂蜜价格为4。果农的成本函数为CA（A，H）＝A2/100－4H，蜂蜜成本函数为CH（A，H）＝H2/100－6A。

（1）他们各自决策，那么他们的最优产量各是多少？

（2）如果合并，那么最大利润是多少？合并之和的产量分别是多少？（上海财经大学2010研）

解：（1）设果农的产量为QA，蜂农的产量为QH，则果农的利润函数为：

πA＝2QA－CA（A，H）＝2QA－QA2/100＋4QH

利润最大化的一阶条件为：dπA/dQA＝0，得：2－QA/50＝0。

解得：QA＝100。

同理，蜂农的利润函数为：

πH＝4QH－CH（A，H）＝4QH－QH2/100＋6QA

利润最大化的一阶条件为：dπH/dQH＝0，得：4－QH/50＝0。

解得：QH＝200。

即如果他们各自决策，果农和蜂农的最优产量分别是100和200。

（2）合并后的利润函数为：

π＝πA＋πH＝2QA－QA2/100＋4QH＋4QH－QH2/100＋6QA＝8QA－QA2/100＋8QH－QH2/100

利润最大化的一阶条件为：

解得：QA＝QH＝400。

将QA＝QH＝400代入合并后的利润函数π＝8QA－QA2/100＋8QH－QH2/100，可得：

π＝8×400－4002/100＋8×400－4002/100＝3200

6假设一个村庄的村长决定修建村里的道路。但他不知道村民对修建交通道路的估价。修筑道路的成本C与道路的长度x有关，且C（x）＝x2/2。每个村民的边际意愿支付为P（x）＝1－x。

（1）确定所修建道路的最优长度的条件是什么？如果村民的人数为1000人，那么该村应修建多长的道路？

（2）假设修建道路的成本是固定的，且C（x）＝500。那么当村民人数为多少时才应该实施修路工程？（上海财经大学2008研）

解：（1）如果公共物品按可变数量提供，提供帕累托有效公共物品量的必要条件为：边际支付意愿之和等于公共物品的边际成本。所以，确定所修建的道路的最优长度的条件是所有村民的边际支付意愿之和等于修筑道路的边际成本。如果村民的人数为1000人，最优的道路长度为：1000（1－x）＝MC（x）＝x。

解得：最优的道路长度x＝1000/1001。

（2）在道路修建成本固定条件下，当村民的边际支付意愿之和大于或等于总成本，则修建道路是合意的。因此，设村民人数为n时修建道路，则应满足n（1－x）≥C（x）＝500，解得：n≥500/（1－x）。所以，当村民人数在500/（1－x）及以上时才应该实施修路工程。

7市场有两个行业，服装行业和钢铁行业，服装行业的生产函数为yc＝lc，钢铁行业生产函数为ys＝24ls0.5－2ls，lc与ls分别是服装与钢铁行业的劳动人数。市场总人数为25，而且所有人都会进入某个行业，假设服装行业与钢铁行业都是完全竞争行业，产品价格都是1。

（1）假定劳动市场完全竞争，求lc和ls以及均衡工资。

（2）假定钢铁工人组成一个强大的工会，拥有垄断权力向钢铁行业提供劳动，工会的目标是使本行业工人总收入最大化，求lc和ls以及钢铁行业和服装行业的工资。

（3）假定两个行业的工人共同组成一个强大的工会，可以垄断的向两个行业提供劳动，工会的目标是使所有工人总收入最大化，求lc和ls以及两个行业的工资。（上海财经大学2011研）

解：（1）因为劳动市场完全竞争均衡，故设服装行业和钢铁行业的工资为wc＝ws＝w，服装行业的生产函数为yc＝lc，所以服装行业工人的边际产量MP＝1，因为产品价格为1，所以服装行业工人的边际产品价值VMP＝P·MP＝1，又因为劳动市场完全竞争，所以有VMP＝wc＝ws＝w＝1。

对于钢铁行业，工人的边际产量MP＝12ls－0.5－2，边际产品价值VMP＝P·MP＝12ls－0.5－2＝1，所以得ls－0.5＝1/4，因此ls＝16；因为ls＋lc＝25，所以lc＝9。

（2）此时服装行业因为没有发生变化，所以VMP＝wc＝1，但是钢铁行业发生了变化，产品市场依然是完全竞争市场而劳动市场不再是完全竞争市场，钢铁行业利润函数为πs＝psys－lsws＝24ls0.5－2ls－lsws，假如给定了钢铁行业工人的工资，则根据利润最大化的一阶条件，有：

πs/dls＝12ls－0.5－2－ws＝0⇒ws＝12ls－0.5－2

可以把上式看成是钢铁行业对工人工资的一个反应函数。

此时工会的目标是最大化收入函数Rs＝lsws，把反应函数ws＝12ls－0.5－2代入该目标函数，得：

Rs＝ls（12ls－0.5－2）＝12ls0.5－2ls

则根据收入最大化的一阶条件，有：

dRs/dls＝6ls－0.5－2＝0⇒ls＝9

因为ls＋lc＝25，所以lc＝16。

此时钢铁行业的工人工资为ws＝12ls－0.5－2＝2。

（3）此时工会的目标函数是π＝lcwc＋lsws，服装行业利润函数为πc＝pcyc－lcwc＝lc－lcwc，利用利润最大化可求得wc＝l，钢铁行业利润函数为：πs＝psys－lsws＝24ls0.5－2ls－lsws，利用利润最大化可求得ws＝12ls－0.5－2。

注意到ls＋lc＝25，于是工会的目标函数变为：

π＝lcwc＋lsws＝25－ls＋ls（12ls－0.5－2）＝12ls0.5－3ls＋25

根据一阶条件得ls＝4。

因为ls＋lc＝25，所以lc＝21。

此时钢铁行业的工人工资为ws＝12ls－0.5－2＝4。

8某产品市场中存在很多的消费者，而生产该产品的企业只有两家，企业A和企业B，这两家企业生产完全相同的产品，固定成本均为0，企业A的边际成本为10，企业B的边际成本为14，已知该市场的需求函数为线性，且当价格P为20时，需求量QD为100，需求价格弹性为－0.2。

（1）求该市场的需求函数。

（2）如果两家企业进行古诺竞争，此时市场的均衡价格与均衡产出是多少？

（3）如果企业A先做产出决策，在预测到企业A的决策之后，企业B再进行产出决策，此时市场的均衡价格与均衡产出是多少？两家企业的产出分别多少？（清华大学2015研）

解：（1）设该市场的需求函数为P＝a－bQD，由“当价格P为20时，需求量QD为100，需求价格弹性为－0.2”，可得下列方程组：

解得：a＝120，b＝1。因此该市场的需求函数为P＝120－QD。

（2）若两家企业进行古诺竞争，则企业A的利润函数为

πA＝PqA－c（qA）＝（120－qA－qB）qA－10qA

其利润最大化的一阶条件为∂πA/∂qA＝110－2qA－qB＝0，所以企业A的反应函数为qA＝55－0.5qB；

企业B的利润函数为：

πB＝PqB－c（qB）＝（120－qA－qB）qB－14qB

其利润最大化的一阶条件为∂πB/∂qB＝106－2qB－qA＝0，所以企业B的反应函数为qB＝53－0.5qA；

联立企业A、B的反应函数得：qA＝38，qB＝34；此时市场的均衡价格为P＝48，均衡产出为QD＝72。

（3）如果企业A先做产出决策，则企业A为领导者，企业B为追随者，由（2）知B的反应函数为qB＝53－0.5qA，将其代入领导者A的利润函数可得

πA＝（120－qA－qB）qA－10qA＝（120－qA－53＋0.5qA）qA－10qA＝（67－0.5qA）qA－10qA

其利润最大化的一阶条件为：∂πA/∂qA＝57－qA＝0，解得：qA＝57；

代入B的反应函数得：qB＝24.5；

此时，市场的均衡产出为QD＝81.5，均衡价格为P＝38.5。

9在某一座10万人口的城市，政府发了1000辆出租车经营牌照。为了模型的简便，我们设每辆出租车每天固定载客运行300公里，每天运行的成本（包括汽车折旧、司机劳动力投入和汽油等等）是300元。设该城市中每人每天对出租车的需求函数是p＝32－10q，其中q为坐出租车出行的公里数，p为每公里的价格。假设出租车市场是完全竞争的。

（1）试计算当地出租车市场的均衡价格（每公里价格）以及数量（总里程数）。

（2）设每一年365天，一辆出租车每天都按上述的情况在跑，人们对未来收益的年折现率是10%，求每块出租车经营牌照的价格。（北京大学2015研）

解：（1）由每人每天对出租车的需求为p＝32－10q即q＝3.2－0.1p，可知该城市每天对出租车的需求为：

1000辆出租车每天载客运行300×1000＝300000公里；由完全竞争市场的均衡条件，可知当地出租车市场的均衡数量为Qe＝300000，代入需求函数可得：均衡价格为pe＝2（元）。