浙大版概率论与数理统计考研真题答案复习重点笔记

第1章　概率论的基本概念

1.1　复习笔记

在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．

一、随机试验

1．定义

试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．

2．试验的特点

（1）可以在相同的条件下重复地进行；

（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．

在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．

二、样本空间、随机事件

1．样本空间

随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．

2．随机事件

一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．

特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．

样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：

（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．

（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．

3．事件间的关系与事件的运算

事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k＝1，2，…）是S的子集．

（1）包含关系

①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；

②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．

（2）和事件

事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生．

称为n个事件A1，A2，…，An的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．

（3）积事件

事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．

称为n个事件A1，A2，…，An的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．

（4）差事件

事件A-B＝{x|x∈A且xB）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．

（5）互斥

若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．

（6）逆事件

若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．

（7）定律

设A，B，C为事件，则有：

①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；

②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；

③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）；

④德摩根律：；．

三、频率与概率

1．频率

（1）定义

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成．

（2）基本性质

①；

②；

③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

2．概率

（1）定义

设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数满足下列条件：

①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；

②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；

③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P（A2）＋…．

（2）性质

①；

②（有限可加性）若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有

P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）

③设A，B是两个事件，若，则有 

P（B－A）＝P（B）－P（A）与P（B）≥P（A）

④对于任一事件A，P（A）≤1；

⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有；

⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；

一般，对于任意n个事件A1，A2，…，An，可以用归纳法证得

四、等可能概型（古典概型）

1．定义

如果一个试验具有以下两个特点：

（1）试验的样本空间只包含有限个元素；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.

则这种试验称为等可能概型，又称古典概型．

2．等可能概型的计算公式

若事件A包含k个基本事件，即A＝，这里，是1，2，…，n中某k个不同的数，则有

五、条件概率

1．条件概率

（1）定义

设A，B是两个事件，且P（A）＞0，称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．

（2）性质

①非负性：对于每一事件B，有P（B|A）≥0；

②规范性：对于必然事件S，有P（S|A）＝1；

③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有

2．乘法定理

（1）设P（A）＞0，则有P（AB）＝P（B|A）P（A），又称乘法公式．

（2）一般，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且，则有

3．全概率公式和贝叶斯公式

（1）样本空间划分的定义

设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件．若

①，i≠j，i，j＝l，2，…，n；

②B1∪B2∪…∪Bn＝S，

则称B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分．

若B1，B2，…，Bn是样本空间的一个划分，则对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个发生．

（2）全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且（i＝1，2，…，n），则

P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|Bn）P（Bn）

（3）贝叶斯公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且，（i＝1，2，…，n），则

注：在n＝2的情况下，全概率公式和贝叶斯公式分别成为

六、独立性

1．两个事件独立

（1）定义

设A，B是两事件，如果满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立．

（2）两个定理

①设A，B是两事件，且P（A）＞0，若A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．反之亦然．

②若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立

A与，与B，与

2．三个事件独立

设A，B，C是三个事件，如果满足等式

则称事件A，B，C相互独立．

3.n个事件独立

（1）定义

设A1，A2，…，An是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1， A2，…，An相互独立．

（2）两个推论

①若事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的．

②若n个事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立．

1.2　课后习题详解

1．写出下列随机试验的样本空间S：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．

解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为

（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为

或写成　　　　　　　　　　　

（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有

2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：

（1）A发生，B与C不发生；

（2）A与B都发生，而C不发生；

（3）A，B，C中至少有一个发生；

（4）A，B，C都发生；

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C中不多于一个发生；

（7）A，B，C中不多于两个发生；

（8）A，B，C中至少有两个发生．

解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．

（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；

（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；

（3）①方法1　由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；

②方法2　事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；

③方法3　事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成

（4）；

（5）；

（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，

；

又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；

又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成

，因此又可将写成

（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此

又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；

又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；

（8），也可写成．

3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．

（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．

（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．

解：（1）

由，已知，故，得，所求概率为

．

（2）

记，由加法公式

（3）（i）；

（ii）．

4．设A、B是两个事件

（1）已知，验证A＝B；

（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）-2P（AB）．

解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．

（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为

5．10片药片中有5片是安慰剂

（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；

（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．

解：（1）p＝1-P（取到的5片药片均不是安慰剂）-P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即

p

（2）．

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．

（1）求最小号码为5的概率；

（2）求最大号码为5的概率．

解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．

（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；

（2）同理，，故．

7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？

解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、3桶黑漆与2桶红漆”，则有，，故事件A发生的概率为

8．在1500件产品中有400件次品、1100件正品．任取200件．

（1）求恰有90件次品的概率；

（2）求至少有2件次品的概率．

解：总数S：从1500件产品中任取200件产品．以A表示事件“恰有90件次品”，以Bi表示事件“恰有i件次品”，i＝0，1，以C表示事件“至少有2件次品”．

（1）

故　；

（2），其中，，互不相容，所以

因,

故，

因此有

9．从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

解：总数S：从5双不同的鞋子中任取4只．以A表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则表示事件“所取4只鞋子无配对”．先计算P（）较为简便．以下按N（）的不同求法，列出本题的3种解法，另外还给出一种直接求P（A）的解法．

解法一：考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的，从5双（10只）鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法，N（S）＝10×9×8×7．现在来求N（）：第一只可以任意取，共有10种取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋子中任取一只，共8种取法；同理第三只、第四只各有6种、4种取法，从而N（）＝10×8×6×4．故

解法二：从10只鞋子中任取4只，共有种取法，即．为求N（），先从5双鞋子中任取4双共有种取法，再自取出的每双鞋子中各取1只（在一双中取一只共有2种取法），共有种取法，即

．故

解法三：现在来求N（）．先从5只左脚鞋子中任取k只（k＝0，1，2，3，4），有种取法．而剩下的4-k只鞋子只能从（不能与上述所取的配对的）5-k只右脚鞋子中选取，即对于每个固定的k，有种取法．故，故

解法四：以Ai表示事件“所取4只鞋子中恰能配成i双”（i＝1，2），则，，故

，因为4只恰能配成2双，它可直接从5双鞋子中成双地取得，故，

的算法是：先从5双中取1双，共有种取法，另外两只能从其他8只中取，共有种取法，不过这种取法中将成双的也算在内了，应去掉．从而．N（S）仍为解法二中的

种，故

10．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率．

解：解法一：总数S：自11个字母中随机地接连抽7个字母并依次排列．将11个字母中的两个b看成是可分辨的，两个i也看成是可分辨的，．以A记事件“排列结果为ability”，则N（A）＝4（因b有两种取法，i也有两种取法），因而

解法二：本题也可利用乘法定理来计算．以，，，，，，

依次表示取得字母a，b，i，l，i，t，y各事件，则所求概率为

11．将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．

解：总数S：将3只球随机地放人4个杯子中去，易知共有43种放置法．以Ai表示事件“杯子中球的最大个数为i”，i＝1，2，3．

对于A3，只有当3只球放在同一杯子中时才能发生，有4个杯子可以任意选择，于是，故

对于事件A1，只有当每个杯子最多放一只球时才能发生．因而，故

对于A2，因，，故，从而

12．50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱．每个部件用3只铆钉．若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱．问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

解：将部件自1到10编号，随机试验E：随机地取铆钉，使各部件都装3只铆钉．以Ai表示事件“第i号部件强度太弱”．由题设，仅当3只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上，才能发生，由于从50只铆钉中任取3只装在第i号部件上共有种取法，强度太弱的铆钉仅有3只，它们都装在第i号部件上，只有种取法，故

又知，，…，两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为

13．一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生．

（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率；

（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率．

解：（1）共有5＋2＋3＋2＝12名学生，在其中任选4名共有种选法，其中每年级各选1名的选法有种选法，因此，所求概率为；

（2）在12名学生中任选5名的选法共有种，在每个年级中有一个年级取2名，而其他3个年级各取1名的取法共有

（种）

于是所求的概率为．

14．（1）已知，求条件概率；

（2）已知，试求．

解：（1）；

由题设得

故

（2）

15．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）．

解：随机试验E：掷两颗骰子，观察其出现之点数．以A记事件“两骰子点数之和为7”，以B记事件“两颗骰子中有一颗出现1点”．

解法一：按条件概率的定义式：来求条件概率，设想两颗骰子是可分辨的，样本空间为

事件A为

事件AB为

现在，因此

解法二：按条件概率的含义来求．样本空间原有36个样本点，现在知道了“A已经发生”这一信息，根据这一信息，不在A中的样本点就不可能出现了，因而试验所有可能结果所成的集合就是A，而A中共有6个可能结果，其中只有两个结果（1，6）和（6，1）有一颗骰子出现1点，因此．

16．据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P{孩子得病}＝0.6，P{母亲得病|孩子得病}＝0.5

P{父亲得病|母亲及孩子得病}＝0.4

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．

解：以A记事件“孩子得病”，以B记事件“母亲得病”，以C记事件“父亲得病”，按题意需要求，已知．

由乘法定理得

17．已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样．求下列事件的概率：

（1）两件都是正品；

（2）两件都是次品；

（3）一件是正品，一件是次品；

（4）第二次取出的是次品．

解：随机实验E：在10件产品中（其中有2件次品）任取两次，每次取1件，作不放回抽样．以Ai（i＝1，2）表示事件“第i次抽出的是正品”．因为是不放回抽样，所以：

（1）两件都是正品的概率为

（2）两件都是次品的概率为

（3）一件是正品，一件是次品的概率为

（4）第二次取出的是次品的概率为

18．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解：解法一：以表示事件“第i次拨号拨通电话”，i＝1，2，3．以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有．事件，， 发生的概率如下

所以该人拨号不超过三次而接通所需电话的概率为

（2）当已知最后一位数是奇数时，所求概率为．

解法二：沿用解法一的记号．

（1）该人拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：

（2）当已知最后一位是奇数时，所求概率为．

19．（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球．先从第一盒中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒中任取一只球，求取到白球的概率．

解：解法一：（1）随机实验E：从甲袋任取一球放人乙袋（试验），再从乙袋任取一球观察其颜色（试验）．试验E是由和合成的．以R表示事件“从甲袋取得的是红球”，以W表示事件“从乙袋取得的是白球”，即有

而

，

在计算时，注意在试验中，乙袋球数为N＋M＋1只；在求P（W|R）时，乙袋白球数为N，但在求时，乙袋白球数为N＋1，故从乙袋取到白球的概率为

（2）随机实验E：从第一盒中任取2只球放入第二盒（），再从第二盒任取一球观察其颜色（）．以（i＝0，1，2）表示事件“从第一盒中取得的球中有i只是红球”，以W表示事件“从第二盒取得一球是白球”．由于，，两两互不相容，且，故

从而

而