曾谨言量子力学教程考研真题答案复习笔记网课视频

9.3　名校考研真题详解

一、选择题

在量子力学中．对每一个物理量A，都有一个厄米算符Â与之对应，若体系处在由波函数ψ（r，t）描述的态中．则在t时刻．对物理量A测量时所得的平均值A．t为（　　）。[中南大学2010研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B查看答案

【解析】物理量平均值定义为，分别为物理量本征值及取值概率，而，并考虑到正交归一化条件和力学量算符的厄米性，于是 ．

二、填空题

1．体系处在用归一化波函数ψ（x）描述的状态．且此波函数可以按力学量A所对应的厄米算符Â的本征函数系展开．即认为k是归一的，则决定系数ck的表达式为______[中南大学2010研]

【答案】查看答案

【解析】由题意，在上式两边乘以并积分得

，

考虑到正交归一化条件有

2．题1中设ak是算符Â的本征值，则力学量A的平均值Ā＝______ [中南大学2010研]

【答案】查看答案

【解析】由平均值定义式以及正交归一化条件有

。

3．题1中当对体系进行力学量A测量时，测量结果一般来说是不确定的．但测量得到某一结果an的概率为______。[中南大学2010研]

【答案】，为确定查看答案

【解析】由题意，在上式两边乘以并积分得

，

考虑到正交归一化条件有

而概率应该为，为定值．

三、计算题

1．一粒子在力学量的三个本征函数所张成的三维子空间中运动，其能量算符和另一力学量算符的形式如其中a，b为实数．

（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用|u1>，|u2>和|u3>表示）：

（2）证明的平均值不随时间变化．[北京航空航天大学2008研]

解：（1）由，令＝可得

 I

由久期方程可得

解得能量算符的三个本征值 II

将II式中各个值代入I式中可以得到

时态矢，即

时态矢，即

态矢，即 ．

（2）显然，故， III

其中k为的平均值

而

其中为3行的任意列矩阵，则＝0，k＝0　 IV

由III式和IV式可知，即的平均值不随时间变化．

2．设质量为m的粒子处于势场V（x）＝－Kx中，K为非零常数。在动量表象中求与能量E对应的本征波函数ΦE（p）．[北京航空航天大学2008研]

解：显然势场不含时，属于一维定态问题，而也属于正幂次级数

故有定态方程

　  　 I

式中,令

则I式可以化为

令，上方程可化简为

 II

II式解得

则

其中C为归一化常数．

3．Q表缘的基矢有两个：{φ1，φ2}，算符有如下性质：

（1）求Q表象中的本征值和本征函数；

（2）已知粒子状态为，求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值。[湖南大学2009研]

解：（1）先算出该算符在Q表象中的矩阵元。

设其本证函数为

则有 ①

由久期方程，解得,再代回①可得　 

，对应本征函数为

，对应本征函数为 ．

（2）粒子的力学量可能取值即其本征值．

由题意

时，相应概率为

时，相应概率为 ．

4．设一维粒子的HamiltonianH，坐标算符为x。利用利用能量本征态的完全性关系，将用和E。，表出，其中是能量本征值为E。，的本征矢．[武汉大学2008研]

解：，则。利用，

可得。

于是，即 ．

第10章　微扰论

10.1　复习笔记

一、束缚态微扰论

1．束缚态微扰论

令

代回薛定谔方程可以得出

　 （1a）

 　（1b）

 （1c）

（1a），（1b），（1c）分别为一级近似能量，二级近似能量和三级近似能量．

非简并态微扰论：

（1）一级近似

设一级微扰近似波函数表示为

为不考虑微扰前的能级，令

则在一级近似下，能量本征值和本征函数分别为

上式中表示对n求和时，n=k项必须摒弃．

（2）二级近似

能量的二级修正为

所以在准确到二级近似下，能量的本征值为

能量的三级修正为

（17）

2．简并态微扰论

（1）简并态一级近似能量

假设不考虑微扰时，体系处于某简并能级，即

与非简并态不同的是，此时零级波函数，尚不能完全确定，但其一般形式必为

　 （2）

零级波函数（2）中的展开系数满足的齐次线性方程组

它有非平庸解的充要条件为

 （3）

上式是的次幂方程（有些书上称之为久期方程（secular equation），方程（3）必然有个实根，记为.这一系列值即一级修正能量，它相应的准确到一级微扰修正的能量为.

（2）简并态零级近似波函数

分别把每一个根代人方程（36），即可求得相应的解，记为于是得出新的零级波函数

如个根无重根，则原来的重简并能级将完全解除简并，分裂为条．但如有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相应的零级波函数仍是不确定的．

二、散射态微扰论

1．散射态的描述

（1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义

图10.1

设一束粒子以稳定的入射流密度（单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶粒子的作用，设在单位时间内有个粒子沿方‘向的立体角中出射．显然，即

的量纲是面积，称为散射截面．如把沿各方向出射的粒子都计算算在内，即

称为总截面．

当时，散射波为往外出射的（outgoing）球面波的量纲是长度，称为散射振幅（scattering amplitude）．

（2），和间关系

这就是散射截而（或称微分截面，或角分布）与散射振幅的关系，而总截面为

2.Lippman-Schwinger方程

对于力程为有限的势场，如假设入射波（入射粒子具有动量可取为，则散射问题归结为求解下列积分方程

上式即Lippman_Schwinger方程，它是一个积分方程．

最后的解如下

3.Born近似

（1）势能V（r）为一般情况

如把入射粒子与靶子相互作用V看成微扰，则作为一级近似解，微扰项中的可以用零级近似解代替，即

此即势散射问题的Born一级近似解．

最终得到散射振幅

（2）势能V（r）为中心势场

若V为中心势，则可得出

图10.2

散射截面为

4．全同粒子的散射

（1）粒子与氧原子核的碰撞

在方向测得粒子（不论是还是氧原子核）的微分截面为

（2）碰撞

散射振幅为因此微分截面为

（3）e－e碰撞

①极化了的自旋三重态或自旋单态电子

两个电子组成的体系，自旋态可以是单态（s=0）或三重态（S=1）．前者相应的空间波函数对于交换空间坐标应要求是对称的，因此散射振幅为对于后者，则为所以微分截面为

②未极化的电子

设入射电子束与靶电子均未极化，即自旋取向是无规分布．统计说来，有概率处于单态（S=0），概率处于三重态．因此，微分截面为

10.2　课后习题详解

10.1　设非简谐振子的Hamilton量表示为

为实数）

用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．

解：

能量的本征值和归一化本征态（无简并）为

利用Hermite多项式的递推关系

得

对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为

能量的二级修正值为

由式（6）可知，只当m取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献，即

由此可得

在准确到二级近似下体系能量值为

在准确到一级近似下，能量本征函数为

10.2　考虑耦合谐振子

（λ为实常数，刻画耦合强度）．

（a）求出的本征值及能级简并度；

（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）；

（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令

称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。

【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521页】

答：Hamilton量为

其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把H中的

看成微扰，而取为

它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为

令

则能量表示式可改为

由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）

以N=1为例，能级为二重简并，能量本征值为

相应的本征函数为与（或者它们的线性叠加）．为表示方便，记

并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰W=的矩阵元如下：

可得出能量的一级修正为

因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为

能级简并被解除，类似还可以求其他能级的分裂，如下图所示．

本题还可以严格求解，作坐标变换，令

其逆变换为

容易证明

因此，Schrodinger方程

化为

令

即

于是方程（13）变为

是两个彼此独立的谐振子，其解可取为

相应的能量为

当时，由式（14），得

此时

例如，N=1的情况，（n1，n2）=（1，O）与（0，1），相应的能量分别为

能级分裂

这与微扰论计算结果式（8）一致．

10.3　一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子，受到微扰作用

求基态能量的一级修正。

解：一维无限深势阱中，粒子的能量本征值为

相应的能量本征函数（不简并）为

按照非简并态微扰论，能量的一级修正值为

所以基态（n=1）能量的一级修正为

10.4　实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R的均匀分布球体，它产生的静电势为

Ze为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，

计算原子的1s能级的一级微扰修正．

【解答见《量子力学习题精选与剖析》[上]，8．16题．】

8.16　在原子结构的计算中，通常将原子核当作点电荷处理，实际上原子核不是点电荷，它有一定的大小．

（a）以R表示原子核半径，设核电荷（Ze）均匀分布于半径为R的球内，试用微扰论（一级近似）估算这种核的有限大小效应对原子的1s电子能级的影响，（1s电子波函数取为类氢离子波函数．）

（b）设核电荷分布于半径为R的球壳上，1s电子的能级修正又如何?

解：（a）用Gauss定理不难求出球形电荷分布的静电势为

电子的势能为，而视核为点电荷时电子的势能为，二者之差

可以视为微扰，类氢离子中1s轨道电子波函数为

为Bohr半径，1s能级的微扰论一级修正为

由于核半径R远小于原子半径积分时可取

从而求出

其中

为类氢离子基态能级．

（b）视核电荷Ze为球壳电荷分布，容易求出静电势为

因此，微扰作用势为

类似于（a）的计算，给出能级修正为

讨论：（a），（b）两种情况的能级修正，数量级相同，和E1s本身相比，约为

由于核半径而．故上式右端不超过如换成原子（以μ子代替电子），情况将大不一样，如Z很大，子的轨道半径可以接近甚至小于核半径，这时核的有限大小将对原子的1s能级产生巨大影响．

10.5　设氢原子处于n=3能级，求它的Stark分裂．

【解答见《量子力学习题精选与剖析》[上]，8.23题】

8.23　将类氢离子（核电荷Ze）放在电场（沿z方向）中，求第三条能级（n=3，不考虑自旋和相对论效应）的Slark分裂．

解：加电场前,能级共对应9个状态，量子数（nlm）的取值分别为

（300）；（311），（310），（31－1）；（322），（321），（320），（32－1），（32－2）

视外电场为微扰，微扰作用势为

零级波函数，的函数形式为由于和对易，作用于的结果，磁量子数m不变，又因为