奥本海姆信号与系统考研真题答案解析

第6章　信号与系统的时域和频域特性

一、简答题

频带有限的低通滤波器：H（jω），能否实现？试述理由。

答：不可实现。该滤波器不满足佩利-维纳准则：，系统函数在某一频带内为0，

，这时，于是上述积分不收敛，系统是非因果的。所以理想的低通滤波器是不可实现的。

二、计算分析题

1．试分析信号通过图6-1（a）所示的斜格型网络后有无幅度失真与相位失真。

图6-1

解：设，，则，用戴维南定理做等效电路图，如图6-1（b）所示，从R两端看进去的等效电阻名。为

等效电压为

所以

频响函数

其中

根据无失真传输条件知，该系统无幅度失真，但有相位失真。要使相位无失真，相位移需满足，即与成正比。当很小时，

此时，

由此可知当＝时，即被传输信号的频率远小于网络固有频率时，才满足无失真传输条件。这时输出电压幅度不变，仅有时延。

2．理想低通滤波器。

某理想线性相位低通滤波器的频率响应函数为

对下列不同的输入f（t），计算滤波器的不同输出y（t）。

（1）f1（t）＝5Sa

（2）f2（t）＝5Sa（t）cos2t；

（3）f3（t）＝Sa2（t）。

答:（1）输入f（t）的傅里叶变换为

由于，F1（jω）的频带宽度小于系统频率响应的频带宽度，所以f1（t）不失真地通过系统时有

Y1（jω）＝F1（jω）e－jω

y1（t）＝f1（t－l）

（2）利用对称性得

5 Sa（t）←→10πg2（ω）

f2（t）＝5 Sa（t）cos2t←→F2（jω）＝5π[g2（ω＋2）＋g2（ω－2）]

因为f2（t）←→5π[g2（ω＋2）＋g2（ω－2）]，一部分频率分量在理想低通滤波通带之内，另一部分频率分量在理想低通滤波器通带之外，信号通过系统发生了失真。

（3）因为Sa（t）←→2πg2（ω）

所以由频域卷积特性得

式中，F△（ω）是宽度为4，F△（0）＝2的三角波，其频带宽度和系统频率响应的频带宽度一样，所以：

Y2（jω）＝F2（jω）e－jω

y2（t）＝f2（t－1）

说明只要信号的频带宽度在系统的通频带之内，则信号不失真通过，只是信号发生了时移。

3．图6-2（a）为相移法产生单边带信号的系统框图。如调制信号为带限信号，频谱如图6-2（a）所示。其中，信号经过90°相移网络后的输出为。试写出输出信号的频谱函数表达式，并绘其频谱图。

图6-2

解：由系统框图，设，为经过频响函数为－的系统后的输出信号，

再与90°相移网络的输出信号相乘后得到，则整个系统的输出信号

对于，易知其频谱函数

对于，其频谱函数

对于，其频谱函数

于是的频谱函数

及的频谱图分别如图6-2（b）、（c）、（d）所示。

图6-2

4．理想高通滤波器的传输特性如图6-3所示，亦即其转移函数为

图6-3

求其单位冲激响应。

解：令

则

要求的冲激响应

先考虑由变换对及对称性，有

令，得

又

故

最后利用时移特性可得到

5．求的信号通过如图6-4（a）所示的系统后的输出。系统中理想带通滤波器的传输特性如图6-4（b）所示，其相位特性。

图6-4

解：由变换对及对称性有

令，得

令，则由频域卷积定理，有

经过带通滤波器后的频谱

又因为

所以

6．已知连续时不变系统的频率响应为，求对信号

的响应y（t）（ω0＞0）。

解：ω0＞0，

所以输出幅度不变，相位减少

7．已知系统y"（t）＋y（t）＝x（t）的响应为

（1）求零输人响应和零状态响应。

（2）若y（0）＝10，求系统y"（t）＋y（t）—x（t）的零输入响应。

（3）求y"（t）＋y（t）＝x（t—2）的零状态响应。

（4）求y"（t）＋y（t）＝x"（t）＋2x（t）的零状态响应。

解：（1）由y"（t）＋y（t）＝x（t）可得s＝－1，

由代入系统方程得

系统的零状态响应

系统的零输入响应

如果将x（t）中的看做外加激励，8δ（t）是引起状态变化因素，则可以认为系统的零状态响应为

系统的零输入响应为

（2）在y（0）＝10条件下，系统的零输入响应：解

（3）

（4）因为

其零状态响应为

注：也可以按13h（t）＋8h"（t）求，结果相同。

8．若激励为e（t），响应r（t）的系统的微分方程由下式描述，求系统的冲激响应h（t）和阶跃响应g（t）。

解：将e（t）＝δ（t），r（t）＝h（t）代入方程

方法1：奇异函数项相平衡法

由于微分方程的右端比左端还高—阶，故冲激响应中应含有δ（t）项，设为

将式（2）代入式（1），奇异函数各系数相等，整理得

代入式（2），冲激响应为

阶跃响应

方法2：冲激函数匹配法

微分方程的齐次解为

用冲激函数匹配法求初始条件，设

将此两式代入方程（1），经整理得

据在t＝0时刻，微分方程两端的δ（t）及其各阶导数应该平衡相等，解得

a＝1

b＝1

c＝1

于是

把h（0＋）＝1代入式（3），求得B1＝1，考虑n＝1，m＝2，n＜m，h（t）中应加上δ函数匹配过程中出现的δ（t）及其导数δ"（f）…δ（m－n）（t）项，由式（4）得冲激响应为。

说明：两种方法求得的结果—致。—般来说，第二种方法比第—种方法简单，特别是对高阶方程。

方法3：齐次解法

先解方程

由，得，则

方法4：本题也可以先求阶跃响应再求冲激响应。设阶跃响应为g（t），方程为

设

先求特解C，将特解gp（t）＝C代入方程，得

C＝1.5　 （7）

求跳变量，设

据在t＝0时刻,微分方程两端的δ（t）及其各阶导数应该平衡相等，解得

a＝1，b＝1，C＝2

依定义，阶跃响应是在零状态下，即g（0＋）＝1

将式（7）、（8）代入式（6），得

1.5＋A1＝l

解得A1＝－0.5

又因为g（t）含冲激项δ（t）且a＝1，所以

9．令系统的冲激响应为，则可得到h’（t）＋h（t）＝δ（t），由此可知系统微分方程为y’（t）＋y（t）＝x（t）。借助这个思路，求与如卜冲激响应h（t）对应的系统微分方程：

解：，所以，系统方程为

10．对于由微分方程y"（t）＋2y（t）＝x（t）描述的系统。

（1）求该系统的冲激响应h（t）；

（2）若x（t）＝e－2tu（t），通过卷积求在零状态下的输出；

（3）若x（t）＝e－2tu（t），且y（0）＝0，通过解微分方程求它的输出；

（4）若x（t）＝e－2tu（t），且y（0）＝1，通过解微分方程求它的输出；

（5）这些输出是否相同？它们是否应该相同？为什么？

解：（1）

（2）

（3），将yf（t）代入微分方程得B＝1。在中，令t＝0，并代入y（0）＝0，解得A＝0。

所以

（4）在中，令t＝0，并代入y（0）＝1，解得A＝1。所以

（5）这些输出中（2）、（3）相同，因为两者都属于零状态响应。

11．已知某系统的数学模型为，求系统的冲激响应h（t）；若输入信号为，求系统的零状态响应yzs（t）。

解：，由，求得A1＝1，A2＝－1

12．如图6-5（a）所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应ha（t），hb（t）如图6-5（b）所示。

（1）求复合系统的冲激响应h（t），画出它的波形；

（2）用积分器、加法器和延时器构成子系统ha（t）和hb（t）的框图；

（3）若激励信号为，m为整数，求总系统的零状态响应r（t），并画出其波形。

图6-5（a）

图6-5（b）

解：（1）当时，系统的零状态响应为h（t），由例2.27图（a）可知，复合系统的冲激响应

其波形如图6-6（a）所示。

图6-6（a）

（2）求子系统ha（t）和hb（t）的框图，由于

ha（t）框图如图6-6（b）所示。子系统ha（t）和hb（t）的关系为，故hb（t）框图如图6-6（c）所示。

图6-6（b）

图6-6（c）

（3）零状态响应，用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。根据卷积运算的分配律及函数与冲激函数的卷积性质得

如果h（t）的波形的宽度r＜T，那么，r（t）的波形如图6-6（d）。由图可见，r（z）的波形也是周期信号，它在每个周期内的波形与h（t）的波形相同。本问提供了一种周期信号的表示方法，需要注意的是，如果h（t）的波形的宽度r＞T，那么，r（t）的波形中，各相邻脉冲将互相重叠。

图6-6（d）

13．如图6-7所示，系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为

，试求此系统的冲激响应h（t）。若以作为激励信号，求系统的零状态响应。

图6-7

解：

14．对于如图6-8所示系统，如果。已知y（－1）＝10求系统的响应及零输入响应和零状态响应。

图6-8

解：由框图可写出系统差分方程

由y（－1）＝10对差分方程迭代，得出y（0）＝1＋6＝7，设全解

将特解yp（t）＝B（0.4）n代入（1）式得B＝－2。

将初始值y（0）＝7代入（2）式，求常数A，A＝7＋2＝9。

系统的全响应为

零输入响应：由y（－1）＝10条件解齐次方程：

零状态响应：系统的全响应与零输入响应之差，即

15．对于差分方程，且已知y（－1）＝2，求解差分方程，并求零输入响应和零状态响应。

解：由方程得特征根为0.5，因为激励为，所以设全解为

求特解系数：

由y（－1）＝2迭代得，代入（1）式得A＝4，全解为

零输入响应：由y（－1）＝2条件解齐次方程

零状态响应：全响应与零输入响应之差，即

16．已知某离散系统的单位阶跃响应为，求该系统的单位样值响应h（n）

解：因为所以

17．已知系统的响应是

（1）求零输入响应和零状态响应。

（2）若y（－1）＝10，求系统y（n）＋ay（n一1）＝x（n）的零输入响应。

（3）求y（n）＋ay（n－1）＝x（n－1）的零状态响应。

（4）求y（扎）＋ay（n11）＝2x（n－1）＋x（n）的零状态响应。

（5）y（－1）＝4，求系统y（n）＋ay（n一1）＝2x（n－1）＋x（n）的全响应。

解：（1）由解的形式可判断：a＝－0.5又由特解知所以原方程为

求零状态响应

代入y（0）＝2得A＝2

（2）

（3）x（n－1）的零状态响应：

（4）的零状态响应：

（5）y（－1）＝4，y（0）＝2

所以

18．已知描述LTI系统的微分方程为

求系统的频率响应特性，并画出幅频特性曲线。

解：对方程两端取傅里叶变换

即

可得频晌特性H（ω）

系统的幅频响应特性为

幅频响应特性曲线见图6-9。

也可以运用拉普拉斯变换先求出系统函数 H（s），再求频率响应特性。

图6-9

19．如图6-10（b）所示系统，已知输入f（t）的频谱函数如图6-10（a）所示，滤波器的频率响应

求该系统的输出y（t）。

图6-10

解：根据调制定理，的频谱为

见图6-10（c），低通滤波器的频谱为图6-10（c）中的虚框所示。

图6-10（c）

信号通过低通滤波器后，其频谱见图6-10（d）。

可见，y（ω）相当于如图6-10（e）所示信号被调制的结果。的逆变换Y0（t）为

图6-10（d）

图6-10（e）

则输出信号y（t）为

20．设有一个带通系统，其频率响应为

输入信号为

求

（1）系统的冲激响应h（t）；

（2）稳杰响应r（t）。

解：（1）由于根据频域卷积定理，可知系统的冲激响应为

（2）根据（1）的计算，可以令hL（t）是一个低通滤波器，h（t）可以认为是hL（t）经余弦调制到高频形成的带通滤波器。可知h（t）是一个高频窄带通滤波器。

若令，则e（t）可以认为是er（t）经调制到高频形成的信号。

eL（t）和e（t）的频谱见图6-11。

图6-11

可知e（t）是一个高频窄带信号。由于

由H（ω）和E（ω）的频谱图可以看出，存的通带之外，在的通带之外，因而上式中的相应两项均可忽略不计，即有

其中，转换到时域为。

在通信系统中，当窄带信号通过窄带系统时，可以用等效的低通信号（即窄带信号的调制包络）通过等效的低通滤波器来进行处理，然后把等效的低通滤波器的输出加上载波调制即为窄带系统的输出响应。此题中低通信号，经低通滤波器的稳态响应为

则响应r（t）为

21．如图6-12所示系统称为零阶保持器。试求出此系统的单位冲激响应h（t），系统函数H（ω），并画出其幅频特性

图6-12

解：设输入信号，此时系统的响应即为单位冲激响应h（t）

单位冲激响应h（t）的傅里叶变换即为系统函数H（ω）

其幅度频谱为

见图6-13。

图6-13

22．已知系统函数为，激励为周期性信号

（1）画出H（ω）的幅频特性和相频特性曲线；

（2）求稳态响应r（t），画出e（t）与r（t）的波形，讨论传输是否引起失真。

解：（1）求H（ω）的幅频特性和相频特性

则幅频特性（图6-14（a））为

则相频特性（见图6-14（b））为

图6-14（a）

图6-14（b）

可见，此系统的幅频特性具有全通特性。

（2）求系统的响应r（t）

方法1：利用傅里叶变换分析法求解输入信号的傅里叶变换E（∞）为

则响应信号的傅里叶变换为

因此输出信号r（t）为

方法2：利用系统函数的定义已知

说明系统的功能是对信号各频率分量进行加权，某些频率分量增强，而另一些频率分量则相对削弱或不变。而且每个频率分量在传输过程中都产生各自的相移。这种改变的规律完全由系统函数H（ω）所决定，H（ω）是个加权函数，把频谱密度为E（ω）的信号改造为

的响应信号。设

则

则作用于系统的响应为则作用于系统的响应为

计算出

因此输出信号r（t）为

输入信号的波形见图6-14（c），输出信号的波形见图6-14（d）。

图6-14（c）

图6-14（d）

可见，输出信号是有失真的。这说明虽然系统的幅频特性为常数，但相频特性曲线不是过原点的直线，因而不同频率的输入信号其对应的延时时间不同，造成输出信号的线性失真。因而不能认为全通网络就是无失真传输网络。

23．如图6-15所示电路中，输出电压v（t），输入电流，试求该电路的频域系统函数H（ω）。为了实现无失真传输，试确定R，和R。的数值。

图6-15

解：此电路的系统函数为

其中代入L和C的数值，其幅频特性为

相频特性为相频特性为

为了实现无失真传输，对幅频特性的要求是。其中k为常数将代入，有

整理，得

令两边对应项的系数相等，有

解方程组，可得

当时，相频特性为

当时，同时满足了系统无失真传输所要求的幅频特性与相频特性。在求解无失真传输所需的系统参数问题时，在参数满足幅频特性（为一常数）的基础上，一定还要验证是否满足相频特性的要求

为常数，即相频特性为过原点的直线），二者缺一不可。

24．一个理想低通滤波器的幅频特性和相频特性分别为

证明此滤波器对于和的响应是一样的。

解：的傅里叶变换为挣傅里叶变换为

以为激励系统的响应均频谱为

以为激励系统的响应的频谱为

可见，当激励信号为和时，虽然这两个激励信号不同，其频谱也不同，但它们在通带内的频率特性完全一致，故其响应相同。可以求出响应为

25．如图6-16所示RC低通滤波器的上升时间t，定义为单位阶跃响应由终值的10％上升到90％所需要的时间。证明，式中是滤波器的3dB带宽。

图6-16

解：RC滤波器的频响特性

已知

则系统阶跃响应g（t）的傅里叶变换G（ω）为

所以

也可以先求出系统的单位冲激响应

则系统的单位阶跃响应为

波形如图6-17所示。

图6-17

根据上升时间的定义

t1，t2为满足下列两式的时间

用上面第一式除以第二式，可得

由此求出

该式表明了上升时间和带宽的关系。

26．已知一连续因果LTl系统的频响特性为。证明：如果系统的单位冲激响应h（t）在原点无冲激，那么R（ω）和I（ω）满足下面方程：

证明：将h（t）分解为偶分量和奇分量之和，即因为系统是因果的，即时，所以有

或者

根据傅里叶变换的奇偶虚实性，可得。

已知根据频域卷积定理，可得

所以

可见，因果系统的H（ω）的实部和虚部之间构成希尔伯特变换对，这是因果系统的系统函数的约束关系。

27．已知因果LTl系统频响特性的实部为，求该系统的频响特性和单位冲激响应

解：设

已知，利用例3．37的结果，可得所以

系统的冲激响应为。

28．如图6-18所示的RL电路实现的因果LTI系统，电流源输出电流为e（t），系统的输出是流经电感线圈的电流r（t）。

图6-18

（1）求关联e（t）和r（t）的微分方程。（2）求系统的频率响应特性H（ω）。

（3）若，求输出r（t）。

解：（1）列KCL方程即

（2）方程（1）两端取傅里叶变换则系统的频率响应特性为

（3）求响应

29．如图6-19（a）所示滤波器，已知其H（∞）如图6-19（c）所示，f（t）的波形如图6-19（b）所示，求零状态响应，并画出波形。

图6-19

图6-20（a）

解：先求F（ω）。先求单脉冲f0（t）（见图6-20（a））的傅里叶变换。利用微分性质，对f0（t）取微分

则周期信号f（t）的傅里叶级数的系数为

因为

所以

则f（t）的傅里叶变换为

利用傅里叶分析法求输出信号的零状态响应。经滤波器后，输出信号的傅里叶变换为

取反变换

y（t）的波形见图6-20（b）

图6-20（b）

30．已知如图6-21（a）所示电路系统，其中R1＝2kΩ，R2＝2kΩ，C＝1500pF，输入信号f（t）如图6-21（b）所示，求电压uc（t）。

（1）首先应用时域分析法求解uc（t）的单位冲激响应h（i）。

（2）然后用时域卷积法和频域傅里叶变换分析法求出输入信号，f（t）作用下的uc（t）表达式，并概略画出uc（t）的波形。

图6-21

解：（1）题中电路为一阶电路，首先利用三要素法求阶跃响应g（t）。设零状态，即，此时

根据冲激响应与阶跃响应之间的关系，有

（2）就用时域法求uc（t）

而，故

应用阶跃响应g（t）及线性时不变性也可求得上述结果，由f（i）的波形可写得用阶跃函数表达的式子为

再根据电路的时不变性和线性性质可得

应用频域法求uc（t）

利用时域积分性质，得

取逆变换，得

其大致波形如图6-21（c）所示。

31．电路如图6-22（a）所示，图6-22中R＝1Ω，L＝1H，激励电压。试求电阻R上的输出电压ug（t）。

图6-22

解：画s域电路模型如图6-22（b）所示。图6-22中

其中

所以

32．一RLC电路图如图6-23所示。其中，输入信号f（t）＝u（i），起始条件。求该电路的电压响应口vc（t）。

图6-23

解：（1）建立描述电路的微分方程。

使上式对t求导，得到

代入电路原件值并加以整理，则有

起始条件为：

（2）求解零输入响应

电路的特征根为

于是零输入响应为

代入初始条件得：，于是可得

（3）求解零状态响应

由于式（*）右侧为将无特解；齐次解模式与相同。所以有

系数必须用初始条件来确定。对本例题，初始条件应在零起始条件基础上计入。由于作用引起的跳变，利用δ函数匹配法，从式（1）容易确定：

代入初始条件确定系数C1和C2，得到：，于是：

（4）求全响应vc（t）

另外：本例题也可一步求出全响应。具体解法是：先得出与零状态响应模式的全响应形式如下：

再导出确定常数A1，A2所需的初始条件，注意这里要在非零起始条件的基础上计入由于所引人的跳变，即：

代入上述初始条件确定常数A1，A2，可得：

于是全响应为：

结果与前面得到的式（2）相同

33．有一系统对激励为e1＝u（t）时的完全响应为，对激励为的完全响应为

，用时域解析法求：

（1）该系统的输入响应

（2）系统的起始状态保持不变，其对于激励为的完全响应。

解：（1）设系统的零输入响应rzi（t），冲激响应为h（t），阶跃响应为g（t），由题给条件列出两种完全响应。

由式（1）、式（2）消t去rzi（t），并利用

得到一个关于g（t）的一阶微分方程

g（t）是零状态响应，其激励为两项，可先求δ（t）单独作用引起的响应g1（t），引用传输算子

则由单独作用引起的响应g2（t）为

故

代回式（1）得零输入响应

（2）e3（t）引起的完全响应r2（t）为

34．已知连续时间系统如图6-24（a）所示，其中子系统，激励，要求用时域法求解以下问题：

图6-24

（1）求系统的微分方程；

（2）求系统的单位冲激响应h（t），并图示之；

（3）系统的零状态响应yf（t），并图示之。

解：（1）方法一：因为，由图6-24（a）可得

整理上两式可求得

已知，可求得

故该系统的微分方程为

方法二：，在信号传输过程中这两个子系统的作用就是积分器。

故由图6-24（a）可得

等式两边微分后整理可得

（2）因为

而

其波形如图6-24（b）所示。

（3）因为，所以

而，知

零状态响应yf（t）为：

其波形如图6-24（c）所示。

35．已知系统当激励时，全响应为；当激励时，全响应为

（1）求系统的单位冲激响应与零输入响应；

（2）求当激励为时的全响应。

解：设零输入响应为yx（t），单位冲激响应为h（t），单位阶跃响应为s（t），则

以上两式相减可得：

对上式求导：

整理得：

零输入响应：

设产生的零状态响应yf3（t），则

因为

所以

故

输入时，系统的全响应y3（t）为

36．已知当输入信号为x（t）时，某连续时问因果LTI系统的输出信号为y（t），x（t）和y（t）的波形如图6-25（a）、（b）所示。试用时域方法求：

（1）该系统的单位阶跃响应s（t），并概画出s（t）的波形；

（2）系统输入为如图6-25（c）所示的x1（t）时的输出信号y1（t），并概画出它的波形。

图6-25

解：（1）可以用多种不同时域方法求该系统的单位阶跃响应s（t）。

方法一：先求单位冲激响应h（t），再用求出s（t）。

由图6-25（a）看出：

和

由于该系统是LTI系统，，对比上式可得

而h（t）的波形如图6-26（a）所示。

或者，直接由图6-25（a）看出，由此得到：h（t）＝u（t）－u（t－1）。

还可以按如下方法求h（t）：

按照卷积积分的微分性质，

显然，，并由y（t）波形微分得到y′（t）波形如图6-27（a）所示。

即

因此得到：

然后，

S（t）的波形如图6-26（b）所示。

图6-26

方法二：直接求出单位阶跃响应s（t）。

LTI系统的s（t）是系统输入为u（t）时的输出，由图6-25（a）中的x（t）的波形可知，

根据LTI系统满足线性性质，系统对u（t）的响应s（t）为：

按上式波形叠加图如图6-27（b）所示，由此得到S（t）的波形图如图6-26（b）所示。

图6-27

（2）由1小题已求得：，则有

该LTI系统当输入x1（t）时的输出信号y1（t）为

其中

由图图6-25（c）可得到：

y0（t）的波形如图6-28（a）所示。

将y0（t）代入式（1），得到所求系统输出为：

y1（t）的波形如图6-28（b）所示。

图6-28

或者，还可以直接用如下的方法求y1（t）：

其中，，它可以对图图6-25（c）中的x1（t）波形直接滑动积分得到，波形如图6-28（a）所示的y0（t）所示，代入式（3），得到如图6-28（b）所示的y1（t）。

37．系统如图6-29（a）所示，其子系统冲激响应，子系统h2（t）的输入、输出如图6-29（b）所示，要求在时域回答：

（1）子系统冲激响应h2（t）；

（2）系统e（t）→r（t）的冲激响应h（t），画出其波形；

（3）当e（t）＝u（t）时系统输出r（t），画出其波形。

图6-29

解：（1）容易看出若对r2（t）求导，可得到与激励e2（t）相同的一个矩形脉冲，只不过向右平移一个单元，

即：

将代入可得

（2）积分器的冲激响应实际上就是单位阶跃响应。根据串联系统的冲激响应以及并联系统的冲激响应的特点，可求出整个系统的冲激响应为

波形如图6-30（a）所示。

波形如图6-30（b）所示。

图6-30

38．已知单位阶跃响应为的连续时间LTI系统，试求并概画出输入为的输出y（t）。

解：

令

y0（t）波形如图6-31（a）所示，因此：

它的波形如图6-31（b）所示。

图6-31

39．试求下列两小题。

（1）某连续时间系统的输入输出信号变换关系为，试确定该系统是否现性？是否时不变？是否因果？是否稳定？若是现行是不变系统，试求出它的单位冲激响应h（t），并该画出h（t）的波形。

（2）现已知该系统的输入为，其中，试用时域卷积法求出系统的输出y（t），并概画出x（t）和y（t）的波形。

解：（1）系统输入输出关系可写为

因此，它是一个LTI系统，即满足线性，又满足时不变性，且这个LTI系统的单位冲激响应h（t）＝u（t）－u（t－1），其波形如图6-32所示，由于h（t）＝0，t＜0，故它是因果的LTI系统。

由图6-32可知，h（t）绝对可积，故它是稳定的LTI系统。

图6-32

（2）已知系统的输入x（t）为

其中它的波形如图6-33（a）所示。

x（t）通过该系统的输出为

令

它的波形如图6-33（b）所示。

且有

因此，系统输出y（t）可表示为

y（t）的波形如图6-33（c）所示。

y（t）可写成

图6-33

40．已知

求两个信号的卷积：

解：

当t＜－2时，

当－2≤t≤0，

当0≤t≤2，

当2＜t，

41．已知连续时间LTl系统的单位冲激响应，概画出它的波形，求出系统频率响应H（w），概画出它的幅频响应和相频响应曲线。

解：的波形如图6-34（a）所示。

系统的频率响应H（w）（即h（t）的傅里叶变换）可以用多种方法求，这里举出两种方法求解：

方法1：对如图6-34（a）所示的h（t）波形求它的一次微分h"（t）和二次微分h""（t），得到h"（t）和h""（t）的波形分别如图6-34（b）和图6-34（c）所示。

由图6-34（c）可以写出h""（t）的表达式如下：

由上式，进一步得到

　①

图6-34

方法2：h（t）可以写成如下表达式：

由于

由于拉普拉斯变换的时移性质，式（4）表示的，h（t）的拉普拉斯变换像函数H（S）女下，且h（t）是有限持续的时间函数，H（S）的收敛域至少是有限S平面，即有

  ②

H（S）的收敛域包含虚轴，故h（t）的傅里叶变换H（w）为

③

上式得结果与式①的结果相同。

说明：还可以用其他方法求H（w），如果用傅里叶正变换公式，通过积分运算，或者利用傅里叶变换其他性质进一步，由式①可以概画出系统的幅频响应和相频响应如图6-35所示。

图6-35

42．已知信号为

（1）画出信号的幅频特性和相频特性

（2）计算并画出信号的功率谱。

解：画出信号的幅频特性和相频特性，如图6-36所示。

图6-36

信号的功率谱如图6-37所示。

图6-37

43．假定对于一个给定信号e（t），需经过时间间隔T0的积分。相关积分是求该系统的频率响应，并画出幅度响应图。

解：

幅度响应图如图6-38所示。

图6-38

44．已知系统框图如图6-39所示，其中G1（t）为宽度等于1的矩形脉冲函数，子系统的单位冲激响应为

系统输入